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九州大学 1991年理系第2問解説

方針・初手

平面上の直線の本数が増えたときに、領域の数がどう変化するかに着目する。既に $k$ 本の直線が引かれている状態から、新たに $(k+1)$ 本目の直線を引いたとき、その新しい直線が既存の直線といくつ交わり、いくつの線分（有限な部分）と半直線（有限でない部分）に分割されるかを考える。問題文で与えられている $P_1(k)$ の設定をうまく利用して漸化式を立てるのが定石である。

解法1

(1)

直線が $1$ 本、$2$ 本のときは交わってできる有限な領域は存在しないため、$P_2(1) = 0$、$P_2(2) = 0$ である。直線が $3$ 本のときは、どの $2$ 本も平行でなく、どの $3$ 本も $1$ 点で交わらないため、$1$ つの三角形ができる。よって、$P_2(3) = 1$ である。

次に、$3$ 本の直線がある状態に $4$ 本目の直線を引く。この直線は既存の $3$ 本の直線と $3$ つの点で交わる。これにより、$4$ 本目の直線は $P_1(3) = 2$ 個の有限な線分と、$2$ 個の有限でない半直線に分割される。直線上の「有限な線分」は既存の領域を分割し、新たに「有限な領域」を必ず $1$ つ生み出す（有限な領域を $2$ つの有限な領域に分割するか、有限でない領域を有限な領域と有限でない領域に分割するため）。一方、「有限でない半直線」は有限でない領域を $2$ つの有限でない領域に分割するだけで、有限な領域を増やさない。したがって、増える有限な領域の数は有限な線分の数に等しく、$2$ 個である。よって、$P_2(4) = P_2(3) + 2 = 1 + 2 = 3$ となる。

同様に、$4$ 本の直線がある状態に $5$ 本目の直線を引くと、既存の $4$ 本の直線と $4$ つの点で交わる。これにより、$5$ 本目の直線は $P_1(4) = 3$ 個の有限な線分と、$2$ 個の有限でない半直線に分割される。先ほどと同様の理由で、有限な領域は有限な線分の数だけ増えるため、$3$ 個増える。よって、$P_2(5) = P_2(4) + 3 = 3 + 3 = 6$ となる。

(2)

平面上に $k$ 本の直線が条件を満たすように引かれているとする。このとき、有限な領域は $P_2(k)$ 個ある。ここに新たに $(k+1)$ 本目の直線を引く。条件より、この直線は既存の $k$ 本の直線とすべて異なる点で交わるため、交点は $k$ 個できる。この $k$ 個の交点により、$(k+1)$ 本目の直線は $P_1(k) = k - 1$ 個の「有限な部分（線分）」と $2$ 個の「有限でない部分（半直線）」に分割される。

(1) で考察した通り、新たに追加された直線上の「有限な部分」は、既存の領域を分割して新たに「有限な領域」を $1$ つ作り出す。直線上の「有限でない部分」は、既存の「有限でない領域」を分割して新たに「有限でない領域」を $1$ つ作り出すのみで、「有限な領域」は増やさない。したがって、$(k+1)$ 本目の直線を引くことによって新たに増える有限な領域の数は、追加された直線上の「有限な部分」の数に等しく、$k - 1$ 個である。よって、求める関係式は以下のようになる。

$$P_2(k+1) = P_2(k) + k - 1$$

(3)

(2) で求めた関係式より、

$$P_2(k+1) - P_2(k) = k - 1$$

これは数列 $\{P_2(k)\}$ の階差数列が $k - 1$ であることを示している。 $k \geqq 2$ のとき、$P_2(1) = 0$ を用いて一般項を求めると、

$$\begin{aligned} P_2(k) &= P_2(1) + \sum_{i=1}^{k-1} (i - 1) \\ &= 0 + \frac{1}{2} (k - 1) \{ 0 + (k - 2) \} \\ &= \frac{1}{2} (k - 1)(k - 2) \end{aligned}$$

この式において $k=1$ とすると、

$$P_2(1) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (-1) = 0$$

となり、$k=1$ のときも成立する。

解説

平面を複数本の直線で分割したときの領域の数を求める問題は頻出であるが、本問は「有限な大きさの領域」のみを数える点が特徴的である。直線を $1$ 本追加したときに、その直線がどのように分割され、それぞれの部分がどのような領域を作り出すかを丁寧に追うことが重要である。問題文冒頭の $P_1(k)$ に関する記述が、(2) で漸化式を立てるための強力な誘導として機能している。