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九州大学 1991年理系第3問解説

方針・初手

(1) 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$x = \alpha$ で極大値 0 をとる条件 ($f(\alpha) = 0$ かつ $f'(\alpha) = 0$) と、$x = \beta$ で極小値 -32 をとる条件から連立方程式を立てて各値を決定する。

(2) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標を求めるための方程式 $f(x) - g(x) = 0$ を立てる。この方程式が異なる2つの実数解を持ち、図形が囲まれるための条件を確認したうえで、定積分のいわゆる「 $\frac{1}{6}$ 公式」を利用して面積を計算する。

解法1

(1) $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ より、これを微分して導関数を求める。

$$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$$

$f(x)$ は $x = \alpha$ で極値をとるため、$f'(\alpha) = 0$ である。また、極大値が 0 であるから $f(\alpha) = 0$ も成り立つ。すなわち、以下の2式が得られる。

$$3\alpha^2 + 2p\alpha + q = 0 \quad \cdots \text{(A)}$$

$$\alpha^3 + p\alpha^2 + q\alpha = 0 \quad \cdots \text{(B)}$$

条件より $\alpha \neq 0$ であるから、式(B) の両辺を $\alpha$ で割ることができる。

$$\alpha^2 + p\alpha + q = 0 \quad \cdots \text{(C)}$$

式(A) から式(C) を辺々引く。

$$2\alpha^2 + p\alpha = 0$$

ふたたび $\alpha \neq 0$ より、両辺を $\alpha$ で割って $p$ について解く。

$$p = -2\alpha \quad \cdots \text{(D)}$$

これを式(C) に代入して $q$ を求める。

$$\alpha^2 - 2\alpha^2 + q = 0 \iff q = \alpha^2 \quad \cdots \text{(E)}$$

ここで得られた $p, q$ を用いると、$f'(x)$ は次のように因数分解できる。

$$f'(x) = 3x^2 - 4\alpha x + \alpha^2 = (3x - \alpha)(x - \alpha)$$

したがって、$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は $x = \alpha, \frac{\alpha}{3}$ である。

関数 $f(x)$ の $x^3$ の係数が正であるため、極大値をとる $x$ 座標は、極小値をとる $x$ 座標よりも小さい。$x = \alpha$ で極大値をとるためには、次の不等式を満たす必要がある。

$$\alpha < \frac{\alpha}{3} \iff \alpha < 0$$

このとき、極小値をとる $x$ 座標は $x = \frac{\alpha}{3}$ である。これが $\beta$ と一致するため、$\beta = \frac{\alpha}{3}$ となる。

問題の条件より極小値が -32 であるから、$f\left(\frac{\alpha}{3}\right) = -32$ となる。ここで $f(x)$ は次のように変形できる。

$$f(x) = x(x^2 - 2\alpha x + \alpha^2) = x(x - \alpha)^2$$

これに $x = \frac{\alpha}{3}$ を代入する。

$$f\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{\alpha}{3} \left( \frac{\alpha}{3} - \alpha \right)^2 = \frac{\alpha}{3} \left( -\frac{2}{3}\alpha \right)^2 = \frac{\alpha}{3} \cdot \frac{4}{9}\alpha^2 = \frac{4}{27}\alpha^3$$

これが -32 と等しいことから、$\alpha$ の方程式を解く。

$$\frac{4}{27}\alpha^3 = -32 \iff \alpha^3 = -32 \times \frac{27}{4} = -216$$

$\alpha$ は実数であるから、$\alpha = -6$ を得る。これは $\alpha < 0$ の条件を満たしている。

この $\alpha$ の値を用いて、残りの値を求める。

$$\beta = \frac{-6}{3} = -2$$

$$p = -2 \times (-6) = 12$$

$$q = (-6)^2 = 36$$

(2) (1) の結果より、$f(x) = x^3 + 12x^2 + 36x$ である。$g(x)$ はこれを $x$ 軸の正の方向へ $c$ だけ平行移動したものであるから、次のように表される。

$$g(x) = f(x - c) = (x - c)^3 + 12(x - c)^2 + 36(x - c)$$

2つの曲線の交点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) - g(x) = 0$ の実数解である。左辺を計算して整理する。

$$f(x) - g(x) = x^3 + 12x^2 + 36x - \left\{ (x - c)^3 + 12(x - c)^2 + 36(x - c) \right\}$$

$$= 3cx^2 - 3c^2x + c^3 + 24cx - 12c^2 + 36c$$

$$= c \{ 3x^2 + 3(8 - c)x + c^2 - 12c + 36 \}$$

条件より $c > 0$ であるから、$f(x) - g(x) = 0$ の実数解は、カッコ内の2次方程式の実数解に等しい。

$$3x^2 + 3(8 - c)x + (c - 6)^2 = 0 \quad \cdots \text{(F)}$$

2つの曲線で囲まれる部分が存在するためには、方程式 (F) が異なる2つの実数解を持つ必要がある。判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となる。

$$D = \{3(8 - c)\}^2 - 4 \cdot 3 \cdot (c - 6)^2 = 9(64 - 16c + c^2) - 12(c^2 - 12c + 36) = -3c^2 + 144$$

$$-3(c^2 - 48) > 0 \iff c^2 - 48 < 0$$

$c > 0$ であるから、$c$ の範囲は $0 < c < 4\sqrt{3}$ と定まる。

この条件のもとで、方程式 (F) の2つの実数解を $\gamma, \delta$ （$\gamma < \delta$）とおく。解の公式を用いて解の差を計算すると次のようになる。

$$\delta - \gamma = \frac{\sqrt{D}}{3} = \frac{\sqrt{3(48 - c^2)}}{3}$$

区間 $\gamma < x < \delta$ において、方程式 (F) の左辺は負となる。したがって $f(x) - g(x) < 0$、すなわち $g(x) > f(x)$ となるため、求める面積 $S$ は上にある $g(x)$ から下にある $f(x)$ を引いて積分することで得られる。

$$S = \int_{\gamma}^{\delta} \{ g(x) - f(x) \} dx$$

$$= \int_{\gamma}^{\delta} \left[ -c \{ 3x^2 + 3(8 - c)x + (c - 6)^2 \} \right] dx$$

ここで被積分関数は $-3c(x - \gamma)(x - \delta)$ と因数分解できることを用いる。

$$S = -3c \int_{\gamma}^{\delta} (x - \gamma)(x - \delta) dx = -3c \left\{ -\frac{1}{6} (\delta - \gamma)^3 \right\} = \frac{c}{2} (\delta - \gamma)^3$$

これに $\delta - \gamma$ の値を代入して計算を進める。

$$S = \frac{c}{2} \left\{ \frac{\sqrt{3(48 - c^2)}}{3} \right\}^3 = \frac{c}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3} (48 - c^2)^{\frac{3}{2}}}{27}$$

$$S = \frac{\sqrt{3}}{18} c (48 - c^2)^{\frac{3}{2}}$$

解説

(1) は極値の条件（$x=a$ で極値をとるならば $f'(a)=0$）を用いて連立方程式を解く基本問題である。極大値と極小値の $x$ 座標の大小関係によって $\alpha$ の符号を絞り込む過程を忘れないようにする。

(2) は3次関数とその平行移動によって作られる図形の面積計算である。「2つの曲線で囲まれる」という文言から、交点を2つ持つための条件（判別式 $D > 0$）を確認し、$c$ の定義域を明確にする必要がある。面積計算においては、被積分関数が $(x-\gamma)(x-\delta)$ の形になることを利用した $\frac{1}{6}$ 公式を用いることで、大幅に計算量を圧縮しつつミスを防ぐことができる。