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九州大学 1997年理系第1問解説

方針・初手

本問は、極座標表示 $r = 1 + \cos t$ で表される曲線（カージオイド）の媒介変数表示に関する問題である。 (1) では、速度ベクトルの成分を求めて速さの2乗を計算する。このとき、$x, y$ に具体的な式を代入して微分するよりも、$x = r\cos t, y = r\sin t$ のまま微分して $(x')^2 + (y')^2 = (r')^2 + r^2$ の関係式を導くと計算が見通しよく進む。 (2) は、(1) で求めた速さの式を積分して道のりを求める。半角の公式を用いて根号を外すが、絶対値記号がつくことに注意して積分区間を分ける。 (3) は、曲線と座標軸で囲まれた面積を求める。直交座標に基づく置換積分を用いる方法と、極方程式の面積公式を用いる方法がある。

解法1

(1)

点 $P$ の速度ベクトルを $\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$ とおく。 $x = r(t)\cos t, y = r(t)\sin t$ を $t$ で微分すると、積の微分法より

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= r'(t)\cos t - r(t)\sin t \\ \frac{dy}{dt} &= r'(t)\sin t + r(t)\cos t \end{aligned}$$

となる。点 $P$ の速さ $|\vec{v}|$ の2乗は

$$\begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \\ &= (r'\cos t - r\sin t)^2 + (r'\sin t + r\cos t)^2 \\ &= (r')^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + r^2(\sin^2 t + \cos^2 t) \\ &= \{r'(t)\}^2 + \{r(t)\}^2 \end{aligned}$$

と計算できる。ここで、$r(t) = 1 + \cos t$ より $r'(t) = -\sin t$ であるから、

$$\begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= (-\sin t)^2 + (1 + \cos t)^2 \\ &= \sin^2 t + 1 + 2\cos t + \cos^2 t \\ &= 2 + 2\cos t \end{aligned}$$

速さが $1$ であるとき、$|\vec{v}|^2 = 1$ より

$$2 + 2\cos t = 1$$

$$\cos t = -\frac{1}{2}$$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ の範囲において、これを満たす $t$ は

$$t = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$$

(2)

点 $P$ が動いた道のりを $L$ とすると、

$$L = \int_{0}^{2\pi} |\vec{v}| dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2\cos t} dt$$

半角の公式 $\cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1+\cos t}{2}$ を用いると、$2+2\cos t = 4\cos^2 \frac{t}{2}$ となるため、

$$|\vec{v}| = \sqrt{4\cos^2\frac{t}{2}} = 2\left|\cos\frac{t}{2}\right|$$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ において $0 \leqq \frac{t}{2} \leqq \pi$ である。したがって、$0 \leqq t \leqq \pi$ のとき $\cos\frac{t}{2} \geqq 0$、$\pi \leqq t \leqq 2\pi$ のとき $\cos\frac{t}{2} \leqq 0$ となる。積分区間を分けて計算すると、

$$\begin{aligned} L &= \int_{0}^{\pi} 2\cos\frac{t}{2} dt + \int_{\pi}^{2\pi} \left( -2\cos\frac{t}{2} \right) dt \\ &= \left[ 4\sin\frac{t}{2} \right]_{0}^{\pi} - \left[ 4\sin\frac{t}{2} \right]_{\pi}^{2\pi} \\ &= (4 - 0) - (0 - 4) \\ &= 8 \end{aligned}$$

(3)

点 $P$ の座標は $t=0$ のとき $(2, 0)$、$t=\frac{\pi}{2}$ のとき $(0, 1)$ である。 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$x(t) = \cos t + \cos^2 t$ の導関数は

$$\frac{dx}{dt} = -\sin t - 2\cos t \sin t = -\sin t (1 + 2\cos t)$$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\sin t > 0$, $1 + 2\cos t > 0$ であるから、$\frac{dx}{dt} < 0$ となる。すなわち、$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで増加するとき、$x$ は $2$ から $0$ まで単調に減少する。また、この範囲で $y(t) = (1+\cos t)\sin t \geqq 0$ である。求める図形の面積 $S$ は $\int_{0}^{2} y dx$ で表されるので、$x$ を $t$ に置換積分すると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} y(t) \frac{dx}{dt} dt \\ &= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y(t) \frac{dx}{dt} dt \\ &= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos t)\sin t \cdot \{-\sin t(1+2\cos t)\} dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t (1+\cos t)(1+2\cos t) dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t (1 + 3\cos t + 2\cos^2 t) dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin^2 t + 3\sin^2 t \cos t + 2\sin^2 t \cos^2 t \right) dt \end{aligned}$$

それぞれの項を積分する。半角の公式と倍角の公式を用いる。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2t}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin^2 t \cos t dt = \left[ \sin^3 t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 t \cos^2 t dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin^2 2t dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 4t}{4} dt = \left[ \frac{t}{4} - \frac{\sin 4t}{16} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8}$$

これらを足し合わせて、

$$S = \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{8} = \frac{3}{8}\pi + 1$$

解法2

(3)の別解

極方程式 $r = f(\theta)$ で表される曲線と、動径 $\theta = \alpha, \theta = \beta$ で囲まれた図形の面積は $\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ である。本問では、$x = r(t)\cos t, y = r(t)\sin t$ より、媒介変数 $t$ は動径のなす角に等しい。 $t=0$ のとき点 $P$ は $x$ 軸上の $(2,0)$ にあり、$t=\frac{\pi}{2}$ のとき点 $P$ は $y$ 軸上の $(0,1)$ にある。したがって、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形は、極方程式の公式がそのまま適用できる面積に相当する。求める面積 $S$ は

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{r(t)\}^2 dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos t)^2 dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + 2\cos t + \cos^2 t) dt \end{aligned}$$

半角の公式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$ を用いて変形すると、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + 2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{2} + 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2}t + 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4}\pi + 2 \right) \\ &= \frac{3}{8}\pi + 1 \end{aligned}$$

解説

カージオイド（心臓形）と呼ばれる有名な曲線の媒介変数表示を題材にした標準的な微積分問題である。 (1) における速さの公式 $|\vec{v}|^2 = r^2 + (r')^2$ は、極座標表示の曲線を扱う際によく用いられる性質であり、知っておくと計算時間を大幅に短縮できる。 (2) の道のり計算で現れる $\sqrt{1+\cos\theta}$ 型の式は、半角の公式を用いて根号を外すのが定石である。このとき、中身の正負を確認して絶対値記号を適切に処理することが重要となる。 (3) については、直交座標に基づく置換積分でも計算可能であるが（解法1）、解法2のように極座標の面積公式を利用できると展開や積分計算がはるかに容易になる。図形的な意味を考えて適切な公式を選択する力が問われている。