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九州大学 1994年理系第3問解説

方針・初手

題意より、点 $Q$ は点 $P$ の回転角 $\theta$ に比例して原点からの距離が伸びる運動をしている。これを極座標を用いて定式化し、直交座標系へと変換する。後半の設問は、極方程式における面積公式の導出過程をなぞる構成となっている。図形的な包含関係から面積の不等式を立て、微分の定義とはさみうちの原理を用いて導関数を求める。

解法1

(1)

点 $P$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を正の向きに一定の速さで回転する。点 $A(1, 0)$ を始点とするため、点 $P$ の動径の角 $\angle POA = \theta$ は時間とともに単調増加する。点 $Q$ は線分 $OP$ 上を $O$ から一定の速さで進み、点 $P$ が $1$ 周して $\theta = 2\pi$ となったとき、点 $P$（すなわち $O$ からの距離が $1$ の位置）に到達する。したがって、点 $Q$ の原点からの距離 $OQ$ は $\theta$ に比例する。$\theta = 0$ のとき $OQ = 0$、$\theta = 2\pi$ のとき $OQ = 1$ となるため、距離 $OQ$ は

$$OQ = \frac{\theta}{2\pi}$$

と表せる。動径 $OP$ の偏角は $\theta$ であるから、点 $Q$ の座標 $(x, y)$ は極座標 $(OQ, \theta)$ を用いて以下のように表せる。

$$\begin{aligned} x &= OQ \cos \theta = \frac{\theta}{2\pi} \cos \theta \\ y &= OQ \sin \theta = \frac{\theta}{2\pi} \sin \theta \end{aligned}$$

よって、求める座標は $\left(\frac{\theta}{2\pi} \cos \theta, \frac{\theta}{2\pi} \sin \theta\right)$ である。

(2)

(1) より、点 $Q(\theta)$ の座標は $\left(\frac{\theta}{2\pi} \cos \theta, \frac{\theta}{2\pi} \sin \theta\right)$ である。 $\theta = \pi$ のときの点 $Q(\pi)$ の座標は、

$$Q(\pi) = \left( \frac{\pi}{2\pi} \cos \pi, \frac{\pi}{2\pi} \sin \pi \right) = \left( -\frac{1}{2}, 0 \right)$$

となる。次に $x$ 座標および $y$ 座標をそれぞれ $\theta$ で微分すると、積の微分法より

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= \frac{1}{2\pi} \cos \theta - \frac{\theta}{2\pi} \sin \theta \\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{2\pi} \sin \theta + \frac{\theta}{2\pi} \cos \theta \end{aligned}$$

$\theta = \pi$ のときの微分係数を求めると、

$$\begin{aligned} \left. \frac{dx}{d\theta} \right|_{\theta=\pi} &= \frac{1}{2\pi} (-1) - 0 = -\frac{1}{2\pi} \\ \left. \frac{dy}{d\theta} \right|_{\theta=\pi} &= 0 + \frac{\pi}{2\pi} (-1) = -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

したがって、$\theta = \pi$ における接線の傾き $m$ は、

$$m = \frac{ \left. \frac{dy}{d\theta} \right|_{\theta=\pi} }{ \left. \frac{dx}{d\theta} \right|_{\theta=\pi} } = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2\pi}} = \pi$$

よって、求める接線の方程式は、点 $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ を通り傾き $\pi$ の直線であるから、

$$y - 0 = \pi \left( x - \left(-\frac{1}{2}\right) \right)$$

$$y = \pi x + \frac{\pi}{2}$$

この接線と $y$ 軸との交点は、$x = 0$ を代入して $y = \frac{\pi}{2}$ となるため、交点の座標は $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ である。

(3)

$S(\theta_2) - S(\theta_1)$ は、軌跡 $C$ の $\theta_1 \leqq \theta \leqq \theta_2$ の部分と、2つの線分 $OQ(\theta_1)$、$OQ(\theta_2)$ で囲まれた領域（これを領域 $D$ とする）の面積を表す。 $OQ = \frac{\theta}{2\pi}$ は $\theta \geqq 0$ において単調増加関数である。したがって、$\theta_1 \leqq \theta \leqq \theta_2$ の範囲において、曲線 $C$ 上の点と原点との距離 $OQ$ はつねに

$$\frac{\theta_1}{2\pi} \leqq OQ \leqq \frac{\theta_2}{2\pi}$$

を満たす。これは、領域 $D$ が、原点を中心とする半径 $\frac{\theta_1}{2\pi}$、中心角 $\theta_2 - \theta_1$ の小扇形を完全に含み、かつ原点を中心とする半径 $\frac{\theta_2}{2\pi}$、中心角 $\theta_2 - \theta_1$ の大扇形に完全に含まれることを意味する。 $OQ$ は単調に増加するため、領域 $D$ の面積は小扇形の面積より真に大きく、大扇形の面積より真に小さい。それぞれの扇形の面積と比較すると、

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta_1}{2\pi}\right)^2 (\theta_2 - \theta_1) < S(\theta_2) - S(\theta_1) < \frac{1}{2} \left(\frac{\theta_2}{2\pi}\right)^2 (\theta_2 - \theta_1)$$

が成り立つ。$0 \leqq \theta_1 < \theta_2$ より $\theta_2 - \theta_1 > 0$ であるから、各辺を $\theta_2 - \theta_1$ で割ると、

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta_1}{2\pi}\right)^2 < \frac{S(\theta_2)-S(\theta_1)}{\theta_2-\theta_1} < \frac{1}{2} \left(\frac{\theta_2}{2\pi}\right)^2$$

となり、題意の不等式が示された。

(4)

(3) の結果を用いて $\frac{dS(\theta)}{d\theta}$ の極限による定義式を作る。 $\Delta \theta > 0$ のとき、$\theta_1 = \theta$、$\theta_2 = \theta + \Delta \theta$ とおいて (3) の不等式に代入すると、

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2 < \frac{S(\theta + \Delta \theta) - S(\theta)}{\Delta \theta} < \frac{1}{2} \left(\frac{\theta + \Delta \theta}{2\pi}\right)^2$$

$\Delta \theta \to +0$ の極限をとると、右辺は $\frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$ に収束する。はさみうちの原理より、

$$\lim_{\Delta \theta \to +0} \frac{S(\theta + \Delta \theta) - S(\theta)}{\Delta \theta} = \frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$$

一方、$\Delta \theta < 0$ のとき、$\theta_1 = \theta + \Delta \theta$、$\theta_2 = \theta$ とおいて (3) の不等式に代入すると、

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta + \Delta \theta}{2\pi}\right)^2 < \frac{S(\theta) - S(\theta + \Delta \theta)}{-\Delta \theta} < \frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$$

中央の式は符号を整理すると $\frac{S(\theta + \Delta \theta) - S(\theta)}{\Delta \theta}$ と等しくなるため、

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta + \Delta \theta}{2\pi}\right)^2 < \frac{S(\theta + \Delta \theta) - S(\theta)}{\Delta \theta} < \frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$$

$\Delta \theta \to -0$ の極限をとると、左辺は $\frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$ に収束する。はさみうちの原理より、

$$\lim_{\Delta \theta \to -0} \frac{S(\theta + \Delta \theta) - S(\theta)}{\Delta \theta} = \frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$$

右側極限と左側極限が一致したため、導関数 $\frac{dS(\theta)}{d\theta}$ は存在し、

$$\frac{dS(\theta)}{d\theta} = \frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2 = \frac{\theta^2}{8\pi^2}$$

次に、$S(\theta)$ を求める。$\theta = 0$ のとき、囲まれる領域は存在せず面積は $0$ なので、$S(0) = 0$ である。微積分学の基本定理より、

$$\begin{aligned} S(\theta) &= \int_{0}^{\theta} \frac{dS(t)}{dt} dt \\ &= \int_{0}^{\theta} \frac{t^2}{8\pi^2} dt \\ &= \left[ \frac{t^3}{24\pi^2} \right]_0^\theta \\ &= \frac{\theta^3}{24\pi^2} \end{aligned}$$

解説

本問は、極方程式 $r = f(\theta)$ で表される曲線の面積公式 $S = \int \frac{1}{2} \{f(\theta)\}^2 d\theta$ を、図形的な微小面積の評価から自力で導出する背景を持った問題である。 (1) で動径の長さを回転角 $\theta$ に比例する関数として正しく立式できるかが第一の関門となる。(2) は媒介変数表示された曲線の微分の基本操作である。(3) における大小関係は、動径が単調増加関数であることを根拠に、内外の扇形の面積で挟み込むことで視覚的にも厳密に証明することができる。