九州大学 2003年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) 媒介変数表示された曲線の微積分による定石問題です。$x$ および $y$ をそれぞれ $t$ で微分し、増減表を作成して曲線の概形を把握します。 (2) 左辺の被積分関数に含まれる $\{r(t)\}^2 r'(t)$ が、$\frac{1}{3}\frac{d}{dt}\{r(t)\}^3$ であることに着目し、部分積分法を用いて右辺を導きます。 (3) 曲線 $C$ は $x$ 軸方向に折り返しを持つため、上側の曲線と下側の曲線を分けて回転体の体積を立式します。その後、$t$ の積分に置換し、(2) で証明した等式を利用して計算を進めます。

解法1

(1)

$x(t) = e^{-t} \cos t$、$y(t) = e^{-t} \sin t$ とおく。 $t$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} x'(t) &= -e^{-t} \cos t - e^{-t} \sin t \\ &= -e^{-t}(\cos t + \sin t) \\ &= -\sqrt{2}e^{-t} \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} y'(t) &= -e^{-t} \sin t + e^{-t} \cos t \\ &= e^{-t}(\cos t - \sin t) \\ &= \sqrt{2}e^{-t} \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

$0 \leqq t \leqq \pi$ において、$x'(t) = 0$ となるのは $t + \frac{\pi}{4} = \pi$ より $t = \frac{3\pi}{4}$ のときである。 また、$y'(t) = 0$ となるのは $t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より $t = \frac{\pi}{4}$ のときである。 これをもとに増減表を作成すると以下のようになる。

したがって、 $x$ の最小値は $t = \frac{3\pi}{4}$ のとき $-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}}$ $y$ の最大値は $t = \frac{\pi}{4}$ のとき $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}$

曲線 $C$ の概形は、点 $(1, 0)$ から出発し、第1象限を通って $y$ 座標が最大値をとり、その後第2象限に入って $x$ 座標が最小値をとった後、点 $(-e^{-\pi}, 0)$ に至る、原点を巻く滑らかな曲線（対数螺旋の一部）となる。

(2)

示すべき等式の左辺に対して、$\{r(t)\}^2 r'(t) = \frac{1}{3} \frac{d}{dt} \{r(t)\}^3$ であることを用いて部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \{r(t)\}^2 r'(t) \sin^2 t \cos t dt &= \int_0^\pi \frac{1}{3} \left( \{r(t)\}^3 \right)' \sin^2 t \cos t dt \\ &= \left[ \frac{1}{3} \{r(t)\}^3 \sin^2 t \cos t \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1}{3} \{r(t)\}^3 (\sin^2 t \cos t)' dt \end{aligned} $$

ここで、第1項（境界項）については、$t = \pi$ および $t = 0$ のとき $\sin t = 0$ となるため、$0$ となる。 また、第2項の被積分関数の微分を計算すると、

$$ \begin{aligned} (\sin^2 t \cos t)' &= (2\sin t \cos t)\cos t + \sin^2 t (-\sin t) \\ &= 2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t \\ &= 2\sin t (1 - \sin^2 t) - \sin^3 t \\ &= 2\sin t - 3\sin^3 t \end{aligned} $$

これらを代入すると、

$$ \begin{aligned} \text{左辺} &= 0 - \frac{1}{3} \int_0^\pi \{r(t)\}^3 (2\sin t - 3\sin^3 t) dt \\ &= \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \left( \sin^3 t - \frac{2}{3} \sin t \right) dt \end{aligned} $$

となり、右辺と一致する。よって等式が成り立つことが示された。

(3)

(1) の増減表から、$0 \leqq t \leqq \frac{3\pi}{4}$ において $x$ は単調減少し、$\frac{3\pi}{4} \leqq t \leqq \pi$ において $x$ は単調増加する。 曲線 $C$ のうち、$0 \leqq t \leqq \frac{3\pi}{4}$ の部分を $C_1$ とし、その方程式を $y = y_1(x)$ とする。 また、$\frac{3\pi}{4} \leqq t \leqq \pi$ の部分を $C_2$ とし、その方程式を $y = y_2(x)$ とする。 図形は曲線 $C_1$ の下側かつ曲線 $C_2$ の上側の領域と $x$ 軸で囲まれるため、求める体積 $V$ は次のように表される。

$$ V = \pi \int_{x(\frac{3\pi}{4})}^1 \{y_1(x)\}^2 dx - \pi \int_{x(\frac{3\pi}{4})}^{-e^{-\pi}} \{y_2(x)\}^2 dx $$

これを $t$ による積分に置換する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\frac{3\pi}{4}}^0 y(t)^2 \frac{dx}{dt} dt - \pi \int_{\frac{3\pi}{4}}^\pi y(t)^2 \frac{dx}{dt} dt \\ &= -\pi \int_0^{\frac{3\pi}{4}} y(t)^2 x'(t) dt - \pi \int_{\frac{3\pi}{4}}^\pi y(t)^2 x'(t) dt \\ &= -\pi \int_0^\pi y(t)^2 x'(t) dt \end{aligned} $$

ここで、$x(t) = r(t)\cos t$ より $x'(t) = r'(t)\cos t - r(t)\sin t$ であり、$y(t) = r(t)\sin t$ であるから、

$$ \begin{aligned} y(t)^2 x'(t) &= \{r(t)\sin t\}^2 \{r'(t)\cos t - r(t)\sin t\} \\ &= \{r(t)\}^2 r'(t) \sin^2 t \cos t - \{r(t)\}^3 \sin^3 t \end{aligned} $$

これを $V$ の式に代入する。

$$ V = -\pi \int_0^\pi \{r(t)\}^2 r'(t) \sin^2 t \cos t dt + \pi \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \sin^3 t dt $$

(2) で示した等式を用いて、第1項を置き換えると、

$$ \begin{aligned} V &= -\pi \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \left( \sin^3 t - \frac{2}{3} \sin t \right) dt + \pi \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \sin^3 t dt \\ &= \pi \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \left( -\sin^3 t + \frac{2}{3} \sin t + \sin^3 t \right) dt \\ &= \frac{2\pi}{3} \int_0^\pi \{r(t)\}^3 \sin t dt \end{aligned} $$

最後に、本問では $r(t) = e^{-t}$ であるため $\{r(t)\}^3 = e^{-3t}$ となる。 これを代入して、

$$ V = \frac{2\pi}{3} \int_0^\pi e^{-3t} \sin t dt $$

が成り立つことが示された。

解説

媒介変数表示で表された曲線の微積分をテーマにした総合問題です。 (1) では、微分の計算ミスに気をつけながら増減表を正しく完成させることが重要です。合成波の公式（三角関数の合成）を用いると方程式の解が求めやすくなります。 (2) は典型的な部分積分の形です。微分の逆演算を意識して、どの部分を積分する関数とするかを見極める力が問われます。 (3) では、$x$ の値が途中で折り返すため、回転体の体積を立式する際に上側の曲線と下側の曲線の差をとる必要があります。結果的に $V = -\pi \int y^2 dx$ という形にまとめられることは、媒介変数表示の積分における重要な性質です。(2) の誘導をうまく利用することで、複雑な計算を大幅にショートカットできるよう構成されています。

答え

(1) $x$ の最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}}$ $y$ の最大値は $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}$ 概形は、点 $(1,0)$ と $(-e^{-\pi}, 0)$ を結ぶ、第1・第2象限を通る原点方向に巻き込む曲線。

(2) 部分積分を用いることで、等式が成り立つことが示された。

(3) 曲線の折り返しを考慮して積分を立式し、(2) の等式を利用することで $V = \frac{2\pi}{3} \int_0^\pi e^{-3t} \sin t dt$ となることが示された。