九州大学 2002年 理系 第5問 解説

方針・初手

原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ 上の点であるという条件から、各点について $|z_i|=1$ すなわち $\overline{z_i} = \frac{1}{z_i}$ （$i=1,2,3$）が成り立つことを活用する。 複素数平面における直交条件（商が純虚数）と、一直線上にある条件（商が実数）を、共役複素数を用いた等式に翻訳して計算を進めていく。

解法1

(1)

点 $z_1, z_2, z_3$ は原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ 上にあるから、

$$|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$$

すなわち、

$$\overline{z_1} = \frac{1}{z_1}, \quad \overline{z_2} = \frac{1}{z_2}, \quad \overline{z_3} = \frac{1}{z_3}$$

が成り立つ。 点 $w_1$ が $\triangle z_1 z_2 z_3$ の垂心であることを示すには、点 $z_1$ と点 $w_1$ を結ぶ直線が対辺 $z_2 z_3$ と直交すること、すなわち $(w_1 - z_1) \perp (z_3 - z_2)$ （または $w_1 = z_1$）を示せば十分である（対称性により他も同様に示されるため）。

$$w_1 - z_1 = (z_1 + z_2 + z_3) - z_1 = z_2 + z_3$$

$z_2 + z_3 = 0$ のとき、線分 $z_2 z_3$ は円 $C$ の直径となり、$\angle z_1 = 90^\circ$ の直角三角形となる。このとき垂心は直角の頂点 $z_1$ と一致し、$w_1 = z_1$ となるため題意は成り立つ。

$z_2 + z_3 \neq 0$ のとき、$z_2 \neq z_3$ より分母は $0$ にならないため、

$$Z = \frac{w_1 - z_1}{z_3 - z_2} = \frac{z_2 + z_3}{z_3 - z_2}$$

とおき、$Z$ が純虚数であることを示す。

$$\begin{aligned} \overline{Z} &= \frac{\overline{z_2} + \overline{z_3}}{\overline{z_3} - \overline{z_2}} \\ &= \frac{\frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3}}{\frac{1}{z_3} - \frac{1}{z_2}} \end{aligned}$$

分母分子に $z_2 z_3$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \overline{Z} &= \frac{z_3 + z_2}{z_2 - z_3} \\ &= - \frac{z_2 + z_3}{z_3 - z_2} \\ &= -Z \end{aligned}$$

$\overline{Z} = -Z$ かつ $Z \neq 0$ であるから、$Z$ は純虚数である。 したがって、直線 $z_1 w_1$ は直線 $z_2 z_3$ と直交する。 対称性から、同様に直線 $z_2 w_1$ も直線 $z_1 z_3$ と直交することが示される。 以上より、点 $w_1$ は $\triangle z_1 z_2 z_3$ の垂心である。

(2)

まず、$w_2 = -\overline{z_1} z_2 z_3$ が円 $C$ 上にあることを示す。

$$\begin{aligned} |w_2| &= |-\overline{z_1} z_2 z_3| \\ &= |\overline{z_1}| |z_2| |z_3| \\ &= 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

よって、点 $w_2$ は原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ 上にある。

次に、直線 $z_1 w_2$ が直線 $z_2 z_3$ と直交することを示す。 $w_2 \neq z_1$ かつ $z_2 \neq z_3$ であるから、

$$W = \frac{w_2 - z_1}{z_3 - z_2}$$

とおき、$W$ が純虚数であることを示す。 $\overline{w_2}$ を計算すると、

$$\begin{aligned} \overline{w_2} &= \overline{-\overline{z_1} z_2 z_3} \\ &= -z_1 \overline{z_2} \overline{z_3} \\ &= -z_1 \frac{1}{z_2} \frac{1}{z_3} \\ &= -\frac{z_1}{z_2 z_3} \end{aligned}$$

これを用いて $\overline{W}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \overline{W} &= \frac{\overline{w_2} - \overline{z_1}}{\overline{z_3} - \overline{z_2}} \\ &= \frac{-\frac{z_1}{z_2 z_3} - \overline{z_1}}{\frac{1}{z_3} - \frac{1}{z_2}} \end{aligned}$$

分母分子に $z_2 z_3$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \overline{W} &= \frac{-z_1 - \overline{z_1} z_2 z_3}{z_2 - z_3} \\ &= \frac{\overline{z_1} z_2 z_3 + z_1}{z_3 - z_2} \\ &= -\frac{-\overline{z_1} z_2 z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \\ &= -\frac{w_2 - z_1}{z_3 - z_2} \\ &= -W \end{aligned}$$

$\overline{W} = -W$ かつ $w_2 \neq z_1$ より $W \neq 0$ であるから、$W$ は純虚数である。 したがって、直線 $z_1 w_2$ は直線 $z_2 z_3$ と直交する。 以上より、点 $z_1$ から直線 $z_2 z_3$ に下ろした垂線またはその延長線が円 $C$ と交わる点は $w_2$ である。

(3)

直線 $z_2 z_3$ と、点 $z_1$ から下ろした垂線との交点を $H$ とし、対応する複素数を $\alpha$ とする。 点 $H$ は直線 $z_2 z_3$ 上にあるので、$\frac{\alpha - z_2}{z_3 - z_2}$ は実数である。したがって、

$$\frac{\alpha - z_2}{z_3 - z_2} = \frac{\overline{\alpha} - \overline{z_2}}{\overline{z_3} - \overline{z_2}}$$

が成り立つ。これを変形する。

$$\begin{aligned} \frac{\alpha - z_2}{z_3 - z_2} &= \frac{\overline{\alpha} - \frac{1}{z_2}}{\frac{1}{z_3} - \frac{1}{z_2}} \\ &= \frac{\frac{z_2 \overline{\alpha} - 1}{z_2}}{\frac{z_2 - z_3}{z_2 z_3}} \\ &= \frac{z_2 z_3 \overline{\alpha} - z_3}{z_2 - z_3} \\ &= - \frac{z_2 z_3 \overline{\alpha} - z_3}{z_3 - z_2} \end{aligned}$$

両辺に $z_3 - z_2$ を掛けて整理すると、

$$\alpha + z_2 z_3 \overline{\alpha} = z_2 + z_3 \quad \cdots \text{①}$$

また、点 $H$ は $z_1$ を通り直線 $z_2 z_3$ に垂直な直線上にあるので、$\alpha = z_1$ または $\frac{\alpha - z_1}{z_3 - z_2}$ は純虚数である。いずれにせよ、

$$\frac{\alpha - z_1}{z_3 - z_2} + \frac{\overline{\alpha} - \overline{z_1}}{\overline{z_3} - \overline{z_2}} = 0$$

が成り立つ。これを変形する。

$$\begin{aligned} \frac{\alpha - z_1}{z_3 - z_2} + \frac{\overline{\alpha} - \overline{z_1}}{\frac{z_2 - z_3}{z_2 z_3}} &= 0 \\ \frac{\alpha - z_1}{z_3 - z_2} - \frac{z_2 z_3 \overline{\alpha} - z_2 z_3 \overline{z_1}}{z_3 - z_2} &= 0 \end{aligned}$$

両辺に $z_3 - z_2$ を掛けて整理すると、

$$\alpha - z_2 z_3 \overline{\alpha} = z_1 - \overline{z_1} z_2 z_3 \quad \cdots \text{②}$$

①式と②式を辺々足し合わせると、

$$2\alpha = z_1 + z_2 + z_3 - \overline{z_1} z_2 z_3$$

ここで、$w_1 = z_1 + z_2 + z_3$, $w_2 = - \overline{z_1} z_2 z_3$ であるから、

$$2\alpha = w_1 + w_2$$

よって、

$$\alpha = \frac{w_1 + w_2}{2}$$

これは、交点 $H$ が点 $w_1$ と点 $w_2$ を結ぶ線分の中点であることを示している（$w_1 = w_2$ のときは交点が $w_1$ そのものとなる）。

解法2

(3)の別解

点 $w_1$ と点 $w_2$ の中点を $M$ とし、対応する複素数を $m$ とする。

$$m = \frac{w_1 + w_2}{2} = \frac{z_1 + z_2 + z_3 - \overline{z_1} z_2 z_3}{2}$$

点 $M$ が直線 $z_2 z_3$ 上にあることを示すために、

$$U = \frac{m - z_2}{z_3 - z_2}$$

とおき、$U$ が実数であることを示す。

$$\begin{aligned} m - z_2 &= \frac{z_1 - z_2 + z_3 - \overline{z_1} z_2 z_3}{2} \\ \overline{m} &= \frac{\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} - z_1 \overline{z_2} \overline{z_3}}{2} \\ &= \frac{\overline{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} - \frac{z_1}{z_2 z_3}}{2} \\ &= \frac{z_2 z_3 \overline{z_1} + z_3 + z_2 - z_1}{2 z_2 z_3} \end{aligned}$$

これを用いて $\overline{U}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \overline{U} &= \frac{\overline{m} - \overline{z_2}}{\overline{z_3} - \overline{z_2}} \\ &= \frac{\frac{z_2 z_3 \overline{z_1} + z_3 + z_2 - z_1}{2 z_2 z_3} - \frac{1}{z_2}}{\frac{z_2 - z_3}{z_2 z_3}} \\ &= \frac{z_2 z_3 \overline{z_1} + z_3 + z_2 - z_1 - 2z_3}{-2(z_3 - z_2)} \\ &= \frac{z_1 - z_2 + z_3 - z_2 z_3 \overline{z_1}}{2(z_3 - z_2)} \\ &= \frac{m - z_2}{z_3 - z_2} \\ &= U \end{aligned}$$

$\overline{U} = U$ となるため、$U$ は実数である。よって、点 $M$ は直線 $z_2 z_3$ 上にある。 一方、(1)より $w_1$ は $z_1$ から直線 $z_2 z_3$ に下ろした垂線上にあり、(2)より $w_2$ も同じ垂線上にある。したがって、その中点 $M$ もこの垂線上にある。 点 $M$ は直線 $z_2 z_3$ と垂線の両方の上にあるため、その交点に他ならない。

解説

複素数平面における幾何学的性質を代数的に証明する典型的な良問である。 (1)(2)(3)の一連の流れは、初等幾何学における有名な定理「三角形の垂心から各辺に下ろした垂線の延長が外接円と交わる点は、その辺に関して垂心と対称な位置にある」ことの証明になっている。 (1)の「垂心の位置ベクトルが $z_1+z_2+z_3$ で表される」という事実は、オイラー線の性質と合わせて公式として記憶しておくと見通しが良くなる。 (3)については、解法1のように「直線上の条件」と「垂線上の条件」を立式して直接交点を求めるアプローチが、例外（$w_1=w_2$ など）を気にすることなく一直線に示せるため強力である。

答え

各問について、題意が示された。