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名古屋大学 2000年文系第4問解説

方針・初手

原点を中心とする正五角形 $ABCDE$ の頂点 $A$ が $1$ にあることから、各頂点は $1$ の $5$ 乗根を利用して表すことができる。$1$ の原始 $5$ 乗根のひとつを $\alpha$ とおき、$C$ と $D$ を $\alpha$ の累乗で表して計算を進めるのがよい。

解法1

(1)

正五角形 $ABCDE$ の頂点 $A$ が $1$ を表し、原点を中心とすることから、各頂点は単位円周上に等間隔で並んでいる。 $1$ の原始 $5$ 乗根のひとつを $\alpha = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}$ とおく。頂点の並び順によらず、$A$ を基準としたとき、$C$ と $D$ が表す複素数の集合は $\{ \alpha^2, \alpha^3 \}$ となる。したがって、点 $C, D$ の中点 $F$ が表す複素数 $h$ は、

$$ h = \frac{\alpha^2 + \alpha^3}{2} $$

と表せる。すなわち、

$$ 2h = \alpha^2 + \alpha^3 $$

である。ここで、$\alpha$ は方程式 $z^5 - 1 = 0$ の解であり、$\alpha \neq 1$ であるから、因数分解により得られる以下の式を満たす。

$$ \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0 $$

$(2h)^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} 4h^2 &= (\alpha^2 + \alpha^3)^2 \\ &= \alpha^4 + 2\alpha^5 + \alpha^6 \end{aligned} $$

$\alpha^5 = 1$ より $\alpha^6 = \alpha$ であるから、

$$ 4h^2 = \alpha^4 + 2 + \alpha $$

これを用いて $4h^2 + 2h - 1$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} 4h^2 + 2h - 1 &= (\alpha^4 + 2 + \alpha) + (\alpha^2 + \alpha^3) - 1 \\ &= \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 \end{aligned} $$

先ほど確認した関係式より $\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ であるため、

$$ 4h^2 + 2h - 1 = 0 $$

が示された。

(2)

(1) で得られた $h$ についての2次方程式 $4h^2 + 2h - 1 = 0$ を解くと、

$$ h = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $$

ここで、$h$ の値の符号について考える。

$$ \begin{aligned} h &= \frac{\alpha^2 + \alpha^3}{2} \\ &= \frac{1}{2} \left( \cos\frac{4\pi}{5} + i\sin\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{6\pi}{5} + i\sin\frac{6\pi}{5} \right) \end{aligned} $$

$\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\frac{4\pi}{5}$ であり、$\sin\frac{6\pi}{5} = -\sin\frac{4\pi}{5}$ であるから、

$$ h = \cos\frac{4\pi}{5} $$

となる。$\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{5} < \pi$ であるため、$\cos\frac{4\pi}{5} < 0$、すなわち $h < 0$ である。したがって、求める $h$ の値は、

$$ h = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} $$

である。

解説

複素数平面における正多角形の頂点は、累乗根を用いて表すのが定石である。$1$ の $n$ 乗根に関する性質 $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + 1) = 0$ を利用して次数を下げるテクニックは頻出であるため、確実に押さえておきたい。また、最後に出た2つの解から不適なものを排除する際、図形的な位置関係や偏角の範囲から値の符号を判断することが重要である。