九州大学 1999年 理系 第8問 解説

方針・初手

2次方程式の係数が実数であっても、解が実数か虚数かによって複素数としての絶対値の計算が異なります。したがって、まずは判別式の符号によって場合分けを行い、$\alpha, \beta$ が実数解か虚数解かを明確にする必要があります。$\alpha \neq \beta$ という条件から重解のケースは除外されます。 (2) の直角になる条件は、図形的な意味を考えて三平方の定理 $AP^2 + BP^2 = AB^2$ を用いるか、複素数の商 $\frac{\beta - i}{\alpha - i}$ が純虚数になる条件を利用します。

解法1

(1)

与えられた2次方程式 $x^2 + 2kx + 3k = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = k^2 - 3k = k(k - 3)$$

問題の条件より $\alpha \neq \beta$ であるため、$D \neq 0$ すなわち $k \neq 0, 3$ である。

(i) $k < 0, \ 3 < k$ のとき $D > 0$ であり、$\alpha, \beta$ は互いに異なる実数解である。したがって、$\overline{\alpha} = \alpha, \ \overline{\beta} = \beta$ が成り立つ。 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2k, \ \alpha\beta = 3k$ であるから、

$$\begin{aligned} |\alpha - i|^2 + |\beta - i|^2 &= (\alpha - i)(\overline{\alpha - i}) + (\beta - i)(\overline{\beta - i}) \\ &= (\alpha - i)(\alpha + i) + (\beta - i)(\beta + i) \\ &= (\alpha^2 + 1) + (\beta^2 + 1) \\ &= \alpha^2 + \beta^2 + 2 \\ &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta + 2 \\ &= (-2k)^2 - 2(3k) + 2 \\ &= 4k^2 - 6k + 2 \end{aligned}$$

(ii) $0 < k < 3$ のとき $D < 0$ であり、$\alpha, \beta$ は互いに共役な虚数解である。 解の公式より、$\alpha, \beta = -k \pm i\sqrt{3k - k^2}$ と表せる。 $\alpha = -k + i\sqrt{3k - k^2}, \ \beta = -k - i\sqrt{3k - k^2}$ としても一般性を失わない。

$$\begin{aligned} \alpha - i &= -k + i(\sqrt{3k - k^2} - 1) \\ \beta - i &= -k - i(\sqrt{3k - k^2} + 1) \end{aligned}$$

これより、それぞれの絶対値の2乗は以下のようになる。

$$\begin{aligned} |\alpha - i|^2 &= (-k)^2 + (\sqrt{3k - k^2} - 1)^2 \\ &= k^2 + (3k - k^2) - 2\sqrt{3k - k^2} + 1 \\ &= 3k + 1 - 2\sqrt{3k - k^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |\beta - i|^2 &= (-k)^2 + \{ -(\sqrt{3k - k^2} + 1) \}^2 \\ &= k^2 + (3k - k^2) + 2\sqrt{3k - k^2} + 1 \\ &= 3k + 1 + 2\sqrt{3k - k^2} \end{aligned}$$

よって、

$$|\alpha - i|^2 + |\beta - i|^2 = (3k + 1 - 2\sqrt{3k - k^2}) + (3k + 1 + 2\sqrt{3k - k^2}) = 6k + 2$$

(2)

複素数平面において、$A(\alpha), B(\beta), P(i)$ とする。$\angle APB = 90^\circ$ となる条件は、三平方の定理より

$$AP^2 + BP^2 = AB^2 \quad \text{すなわち} \quad |\alpha - i|^2 + |\beta - i|^2 = |\alpha - \beta|^2$$

が成り立つことである。

(i) $k < 0, \ 3 < k$ のとき $\alpha, \beta$ は実数であるから、

$$|\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-2k)^2 - 4(3k) = 4k^2 - 12k$$

(1) の結果を三平方の定理の式に代入すると、

$$4k^2 - 6k + 2 = 4k^2 - 12k$$

$$6k = -2$$

$$k = -\frac{1}{3}$$

これは $k < 0$ を満たす。

(ii) $0 < k < 3$ のとき $\alpha = -k + i\sqrt{3k - k^2}, \ \beta = -k - i\sqrt{3k - k^2}$ であるから、

$$\alpha - \beta = 2i\sqrt{3k - k^2}$$

$$|\alpha - \beta|^2 = |2i\sqrt{3k - k^2}|^2 = 4(3k - k^2) = 12k - 4k^2$$

(1) の結果を三平方の定理の式に代入すると、

$$6k + 2 = 12k - 4k^2$$

$$4k^2 - 6k + 2 = 0$$

$$2k^2 - 3k + 1 = 0$$

$$(2k - 1)(k - 1) = 0$$

よって $k = \frac{1}{2}, 1$。 これらはともに $0 < k < 3$ を満たす。

以上より、求める $k$ の値は $k = -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$ である。

解法2

(2) の別解

$\angle APB = 90^\circ$ となる条件は、$\alpha \neq i$ かつ $\beta \neq i$ のもとで、$\frac{\beta - i}{\alpha - i}$ が純虚数となることである。

複素数 $z = \frac{\beta - i}{\alpha - i}$ が純虚数であるための条件は、$z + \overline{z} = 0$ かつ $z \neq 0$ である。

$$z = \frac{\beta - i}{\alpha - i} = \frac{(\beta - i)(\overline{\alpha - i})}{|\alpha - i|^2} = \frac{(\beta - i)(\overline{\alpha} + i)}{|\alpha - i|^2} = \frac{\beta\overline{\alpha} + i(\beta - \overline{\alpha}) + 1}{|\alpha - i|^2}$$

分母は実数であるため、$z$ が純虚数になるには、分子の実部が $0$ になることが必要である。

(i) $k < 0, \ 3 < k$ のとき $\alpha, \beta$ は実数であるから $\overline{\alpha} = \alpha$ である。 このとき分子は $\alpha\beta + i(\beta - \alpha) + 1$ となる。 実部が $0$ であるから、$\alpha\beta + 1 = 0$。 解と係数の関係から $\alpha\beta = 3k$ であるため、$3k + 1 = 0$ となり、$k = -\frac{1}{3}$。 このとき、虚部は $\beta - \alpha$ となるが、$\alpha \neq \beta$ より $0$ ではないため $z \neq 0$ を満たす。 また $k = -\frac{1}{3}$ は $k < 0, \ 3 < k$ を満たす。

(ii) $0 < k < 3$ のとき $\alpha, \beta$ は共役な虚数解であるから $\beta = \overline{\alpha}$ である。 このとき分子は $\overline{\alpha}^2 + i(\overline{\alpha} - \overline{\alpha}) + 1 = \overline{\alpha}^2 + 1$ となる。 $\overline{\alpha} = -k - i\sqrt{3k - k^2}$ より、

$$\begin{aligned} \overline{\alpha}^2 &= (-k - i\sqrt{3k - k^2})^2 \\ &= k^2 - (3k - k^2) + 2ki\sqrt{3k - k^2} \\ &= 2k^2 - 3k + 2ki\sqrt{3k - k^2} \end{aligned}$$

分子の実部が $0$ であるから、$2k^2 - 3k + 1 = 0$。 これを解いて $(2k - 1)(k - 1) = 0$ より $k = \frac{1}{2}, 1$。 このとき、虚部は $2k\sqrt{3k - k^2}$ となるが、$k \neq 0, 3$ より $0$ ではないため $z \neq 0$ を満たす。 またこれらは $0 < k < 3$ を満たす。

以上より、$k = -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$。

解説

複素数の絶対値の2乗は、常に $|z|^2 = z\overline{z}$ として計算する必要があります。解 $\alpha, \beta$ が実数であれば $\overline{\alpha} = \alpha$ となりそのまま展開できますが、虚数の場合はそうはいかないため、2次方程式の判別式を利用した場合分けが必須となる問題です。 場合分けを怠ってすべて実数と同じように計算してしまうと、後半の答えの一部を落としてしまうため注意が必要です。

答え

(1) $k < 0, \ 3 < k$ のとき $4k^2 - 6k + 2$ $0 < k < 3$ のとき $6k + 2$

(2) $k = -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$