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九州大学 2003年理系第4問解説

方針・初手

空間ベクトルを設定して処理します。$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90^\circ$ であるため、点 $O$ を始点とするベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$、$\vec{b} = \overrightarrow{OB}$、$\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ は互いに垂直であり、内積が $0$ になるという性質を利用できます。 (1) はベクトルの垂直条件を内積の式に翻訳して連立方程式を解きます。(2) は点 $Q$ の位置ベクトルを媒介変数 $t$ を用いて表し、距離の2乗 $|\overrightarrow{OQ}|^2$ を $t$ の2次関数として最小値を求めます。

解法1

(1)

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。条件より $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = b$, $|\vec{c}| = c$ であり、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は互いに垂直であるから、 $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 $$ が成り立つ。三角形 $ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトルは $$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$ と表される。 $\angle OGA = 90^\circ$ であるから、$\overrightarrow{GO} \cdot \overrightarrow{GA} = 0$ が成り立つ。 $\overrightarrow{GO} = -\overrightarrow{OG}$、$\overrightarrow{GA} = \vec{a} - \overrightarrow{OG}$ より、 $$ -\overrightarrow{OG} \cdot (\vec{a} - \overrightarrow{OG}) = 0 $$ $$ |\overrightarrow{OG}|^2 - \overrightarrow{OG} \cdot \vec{a} = 0 $$ ここで、それぞれの項を計算すると $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OG}|^2 &= \frac{1}{9} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{9} \left( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{c}\cdot\vec{a} \right) \\ &= \frac{1}{9} (a^2 + b^2 + c^2) \end{aligned} $$ $$ \overrightarrow{OG} \cdot \vec{a} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = \frac{1}{3} |\vec{a}|^2 = \frac{1}{3} a^2 $$ これらを代入して整理すると、 $$ \frac{1}{9}(a^2 + b^2 + c^2) - \frac{1}{3}a^2 = 0 $$ $$ a^2 + b^2 + c^2 - 3a^2 = 0 $$ $$ 2a^2 = b^2 + c^2 \quad \cdots \text{①} $$ 同様に、$\angle OGB = 90^\circ$ より $\overrightarrow{GO} \cdot \overrightarrow{GB} = 0$ から $$ 2b^2 = c^2 + a^2 \quad \cdots \text{②} $$ $\angle OGC = 90^\circ$ より $\overrightarrow{GO} \cdot \overrightarrow{GC} = 0$ から $$ 2c^2 = a^2 + b^2 \quad \cdots \text{③} $$ ①, ②より $c^2$ を消去すると、 $$ 2a^2 - b^2 = 2b^2 - a^2 $$ $$ 3a^2 = 3b^2 $$ $a > 0, b > 0$ であるから、$a = b$。これを①に代入すると、 $$ 2a^2 = a^2 + c^2 $$ $$ a^2 = c^2 $$ $a > 0, c > 0$ であるから、$a = c$。したがって、$a = b = c$ となる。逆にこのとき、①, ②, ③はすべて満たされる。よって、求める条件は $a = b = c$ である。

(2)

点 $D$ は線分 $BC$ を $1:2$ に内分する点であるから、 $$ \overrightarrow{OD} = \frac{2\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{1 + 2} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} $$ 点 $P$ は直線 $AD$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて $$ \overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)\vec{a} + \frac{2}{3}t\vec{b} + \frac{1}{3}t\vec{c} $$ と表せる。ただし、点 $P$ は $A$ と異なる点なので $t \neq 0$ である。また、点 $Q$ は三角形 $APQ$ の重心が $G$ となるように動くので、 $$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}) $$ が成り立つ。これに $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ を代入して $\overrightarrow{OQ}$ について解くと、 $$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} $$ $$ \overrightarrow{OQ} = \vec{b} + \vec{c} - \overrightarrow{OP} $$ これに $\overrightarrow{OP}$ の式を代入する。 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \vec{b} + \vec{c} - \left( (1-t)\vec{a} + \frac{2}{3}t\vec{b} + \frac{1}{3}t\vec{c} \right) \\ &= (t-1)\vec{a} + \left(1 - \frac{2}{3}t\right)\vec{b} + \left(1 - \frac{1}{3}t\right)\vec{c} \end{aligned} $$ 線分 $OQ$ の長さの2乗を計算する。$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は互いに垂直であるから、内積の項は消え、 $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OQ}|^2 &= (t-1)^2 |\vec{a}|^2 + \left(1 - \frac{2}{3}t\right)^2 |\vec{b}|^2 + \left(1 - \frac{1}{3}t\right)^2 |\vec{c}|^2 \\ &= (t^2 - 2t + 1)a^2 + \left(\frac{4}{9}t^2 - \frac{4}{3}t + 1\right)b^2 + \left(\frac{1}{9}t^2 - \frac{2}{3}t + 1\right)c^2 \\ &= \left(a^2 + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{9}c^2\right)t^2 - 2\left(a^2 + \frac{2}{3}b^2 + \frac{1}{3}c^2\right)t + a^2 + b^2 + c^2 \end{aligned} $$ ここで、 $A = a^2 + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{9}c^2$ $B = a^2 + \frac{2}{3}b^2 + \frac{1}{3}c^2$ $C = a^2 + b^2 + c^2$ とおくと、$|\overrightarrow{OQ}|^2$ は $t$ についての2次関数 $f(t) = At^2 - 2Bt + C$ となる。これを平方完成すると、 $$ f(t) = A\left(t - \frac{B}{A}\right)^2 + C - \frac{B^2}{A} $$ $a>0, b>0, c>0$ より $A > 0, B > 0$ であるため、頂点の $t$ 座標は $t = \frac{B}{A} > 0$ となり、条件 $t \neq 0$ を満たす。したがって、$|\overrightarrow{OQ}|^2$ の最小値は $C - \frac{B^2}{A} = \frac{AC - B^2}{A}$ である。分子の $AC - B^2$ を計算する。 $$ \begin{aligned} AC &= \left(a^2 + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{9}c^2\right)(a^2 + b^2 + c^2) \\ &= a^4 + \frac{4}{9}b^4 + \frac{1}{9}c^4 + \frac{13}{9}a^2 b^2 + \frac{5}{9}b^2 c^2 + \frac{10}{9}c^2 a^2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} B^2 &= \left(a^2 + \frac{2}{3}b^2 + \frac{1}{3}c^2\right)^2 \\ &= a^4 + \frac{4}{9}b^4 + \frac{1}{9}c^4 + \frac{4}{3}a^2 b^2 + \frac{4}{9}b^2 c^2 + \frac{2}{3}c^2 a^2 \end{aligned} $$ よって、 $$ \begin{aligned} AC - B^2 &= \left(\frac{13}{9} - \frac{12}{9}\right)a^2 b^2 + \left(\frac{5}{9} - \frac{4}{9}\right)b^2 c^2 + \left(\frac{10}{9} - \frac{6}{9}\right)c^2 a^2 \\ &= \frac{1}{9}a^2 b^2 + \frac{1}{9}b^2 c^2 + \frac{4}{9}c^2 a^2 \end{aligned} $$ これより、最小値の2乗は $$ \frac{\frac{1}{9}(a^2 b^2 + b^2 c^2 + 4c^2 a^2)}{\frac{1}{9}(9a^2 + 4b^2 + c^2)} = \frac{a^2 b^2 + b^2 c^2 + 4c^2 a^2}{9a^2 + 4b^2 + c^2} $$ 線分 $OQ$ の長さはこの正の平方根である。

解説

互いに直交する3つの線分を軸と見なして、空間ベクトルを用いて処理する典型的な問題です。 (1) はベクトルの内積が $0$ になることを立式し、得られた3つの式から対称性を活かして変数を決定します。 (2) は「点 $P$ が直線上にある」「点 $Q$ が重心条件を満たす」という2つの事実から、$\overrightarrow{OQ}$ を1つの変数 $t$ で表し、$t$ の2次関数の最小値を求める問題に帰着させます。係数が複雑になりますが、丁寧に展開して整理することで解にたどり着くことができます。計算の過程でコーシー・シュワルツの不等式やラグランジュの恒等式を意識すると、見通しよく計算を進められます。なお、(2) の「このとき」という表現は直前の「点 $P, Q$ が動く」という設定を受けており、(1) の条件（$a=b=c$）を引き継ぐものではないと解釈して一般の $a,b,c$ で解を求めています。