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九州大学 2007年理系第1問解説

方針・初手

(1) 関数 $h(x) = f(x) - g(x)$ を設定し、導関数を用いて増減を調べることで、最小値が $0$ 以上になることを示すのが基本方針です。または、第2次導関数を求めて曲線 $y = f(x)$ の凸性を調べ、曲線と接線の位置関係から示すこともできます。

(2) (1) の結果から積分区間 $0 \leqq x \leqq L$ において $f(x) \geqq g(x)$ であるため、求める面積 $S(p)$ は $\int_0^L \{f(x) - g(x)\} dx$ と表せます。これを $p$ の関数として計算し、導関数 $S'(p)$ を求めて増減を調べます。

解法1

(1) $f(x) = xe^x$ を微分すると

$$ f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x+1)e^x $$

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(p, f(p))$ における接線 $y = g(x)$ の方程式は

$$ y - pe^p = f'(p)(x - p) $$

$$ y = (p+1)e^p(x - p) + pe^p $$

$$ y = (p+1)e^p x - p^2 e^p $$

よって、$g(x) = (p+1)e^p x - p^2 e^p$ である。ここで、$h(x) = f(x) - g(x)$ とおくと

$$ h(x) = xe^x - \{ (p+1)e^p x - p^2 e^p \} $$

$h(x)$ を $x$ について微分すると

$$ h'(x) = f'(x) - g'(x) = (x+1)e^x - (p+1)e^p $$

$h'(x) = 0$ とすると、$(x+1)e^x = (p+1)e^p$ である。関数 $y = (x+1)e^x$ を微分すると $y' = (x+2)e^x$ となり、$x \geqq 0$ において $y' > 0$ であるから、$y = (x+1)e^x$ は単調に増加する。したがって、$(x+1)e^x = (p+1)e^p$ を満たす $x \geqq 0$ の値は $x = p$ のみである。 $x \geqq 0$ における $h(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$p$	$\cdots$
$h'(x)$		$-$	$0$	$+$
$h(x)$		$\searrow$	$0$	$\nearrow$

表より、$h(x)$ は $x = p$ で最小値をとる。最小値は $h(p) = pe^p - \{ (p+1)e^p p - p^2 e^p \} = 0$ ゆえに、$x \geqq 0$ において $h(x) \geqq 0$ すなわち $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。

(2) $S(p)$ は曲線 $y = f(x)$、直線 $y = g(x)$、および $x=0$、$x=L$ で囲まれた部分の面積である。 $p \geqq 0, L > 0$ であり、(1) より $0 \leqq x \leqq L$ において $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つから、

$$ \begin{aligned} S(p) &= \int_{0}^{L} \{ f(x) - g(x) \} dx \\ &= \int_{0}^{L} \{ x e^x - (p+1)e^p x + p^2 e^p \} dx \end{aligned} $$

ここで、第1項の $\int_{0}^{L} x e^x dx$ は $p$ によらない定数である。これを積分せずに残したまま計算を進めると、

$$ \begin{aligned} S(p) &= \int_{0}^{L} x e^x dx - \left[ \frac{1}{2}(p+1)e^p x^2 - p^2 e^p x \right]_{0}^{L} \\ &= \int_{0}^{L} x e^x dx - \left\{ \frac{1}{2}L^2 (p+1)e^p - L p^2 e^p \right\} \\ &= \int_{0}^{L} x e^x dx - e^p \left( -L p^2 + \frac{1}{2}L^2 p + \frac{1}{2}L^2 \right) \end{aligned} $$

$S(p)$ を $p$ で微分すると、定数部分は消え、積の微分法より

$$ \begin{aligned} S'(p) &= - e^p \left( -L p^2 + \frac{1}{2}L^2 p + \frac{1}{2}L^2 \right) - e^p \left( -2L p + \frac{1}{2}L^2 \right) \\ &= - e^p \left\{ -L p^2 + \left( \frac{1}{2}L^2 - 2L \right) p + L^2 \right\} \\ &= L e^p \left( p^2 - \frac{1}{2}L p + 2p - L \right) \\ &= L e^p \left\{ p \left( p - \frac{L}{2} \right) + 2 \left( p - \frac{L}{2} \right) \right\} \\ &= L e^p (p+2) \left( p - \frac{L}{2} \right) \end{aligned} $$

$L > 0$、$e^p > 0$ であり、$p \geqq 0$ において $p+2 > 0$ であるから、$S'(p)$ の符号は $p - \frac{L}{2}$ の符号と一致する。したがって、$S'(p) = 0$ となるのは $p = \frac{L}{2}$ のときである。 $p \geqq 0$ における $S(p)$ の増減表は以下のようになる。

$p$	$0$	$\cdots$	$\frac{L}{2}$	$\cdots$
$S'(p)$		$-$	$0$	$+$
$S(p)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

したがって、$S(p)$ は $p = \frac{L}{2}$ において最小となる。

解法2 ( (1)の別解 )

$f(x) = x e^x$ について、第1次導関数、第2次導関数を求めると

$$ f'(x) = (x+1)e^x $$

$$ f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x $$

$x \geqq 0$ において $f''(x) > 0$ であるから、$x \geqq 0$ において曲線 $y = f(x)$ は下に凸である。曲線上の点 $P(p, f(p))$ （$p \geqq 0$）における接線が $y = g(x)$ であるから、下に凸な曲線の性質より、曲線のグラフは接線の上側、または接線上にある。よって、$x \geqq 0$ において $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。（等号成立は $x = p$ のとき）

解説

(1) で $f(x) \geqq g(x)$ を示す方法は、差の関数をとって微分する手順が定石ですが、解法2のように第2次導関数を求めて曲線の凸性を調べることで、グラフと接線の上下関係から簡潔に示すこともできます。

(2) の面積計算では、定積分 $\int_0^L xe^x dx$ が変数 $p$ に依存しない定数であることに着目すると、部分積分の計算を省略でき、見通しが良くなります。その後の $p$ による微分の際、積の微分法を正確に実行し、因数分解によって導関数の符号変化を捉えることがポイントとなります。