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東京大学 2009年理系第2問解説

方針・初手

行列の積と累乗、および数列の極限を組み合わせた問題である。（1）では、条件（ii）を用いて行列 $A$ の成分に関する関係式を導き、$B$ の計算において文字を消去する。（2）では、$B = P^{-1} A P$ （$P$ は与えられた行列）の形になっていることに着目し、$B^n = P^{-1} A^n P$ を利用して $\begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ の関係を導く。（3）では、（1）で求めた行列 $B$ を用いて $\begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix}$ に関する漸化式を立て、その一般項を求めることで極限の条件（2）から $c$ や $a$ の値を決定する。

解法1

(1)

$$ P = \begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

とおくと、その逆行列は、

$$ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

である。条件（ii）より $A \begin{pmatrix} r \\ 1 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} r \\ 1 \end{pmatrix}$ であるから、

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sr \\ s \end{pmatrix} $$

行列の積を計算し、成分を比較すると、

$$ \begin{cases} ar + b = sr \\ cr + d = s \end{cases} $$

これらを変形して、

$$ b = sr - ar = r(s - a), \quad d = s - cr $$

を得る。これらを用いて行列 $B$ を計算する。$B = P^{-1} A P$ であるから、

$$ \begin{aligned} B &= \begin{pmatrix} 1 & -r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a - rc & b - rd \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a - rc & r(a - rc) + b - rd \\ c & cr + d \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで、$B$ の右上成分に $b = r(s - a)$ と $d = s - cr$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} r(a - rc) + b - rd &= ar - r^2 c + r(s - a) - r(s - cr) \\ &= ar - r^2 c + sr - ar - sr + r^2 c \\ &= 0 \end{aligned} $$

また、$B$ の右下成分は $cr + d = s$ である。したがって、

$$ B = \begin{pmatrix} a - rc & 0 \\ c & s \end{pmatrix} $$

となる。

(2)

$B = P^{-1} A P$ より、$B^n = P^{-1} A^n P$ が成り立つ。これを与式に代入すると、

$$ \begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix} = B^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = P^{-1} A^n P \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

ここで、$P \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を計算すると、

$$ P \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

である。よって、

$$ \begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix} = P^{-1} A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

条件（iii）より $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ であるから、

$$ \begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n - r y_n \\ y_n \end{pmatrix} $$

各成分を比較して、$z_n = x_n - r y_n$、$w_n = y_n$ を得る。条件（iii）より $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} (x_n - r y_n) = 0 - r \cdot 0 = 0 $$

$$ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} y_n = 0 $$

となり、示された。

(3)

（1）の結果より、

$$ \begin{pmatrix} z_{n+1} \\ w_{n+1} \end{pmatrix} = B^{n+1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = B \left\{ B^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} = B \begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - rc & 0 \\ c & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_n \\ w_n \end{pmatrix} $$

したがって、次の漸化式が得られる。

$$ \begin{cases} z_{n+1} = (a - rc) z_n \\ w_{n+1} = c z_n + s w_n \end{cases} $$

また、初期値は

$$ \begin{pmatrix} z_1 \\ w_1 \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - rc \\ c \end{pmatrix} $$

であるから、$z_1 = a - rc$、$w_1 = c$ である。第1式より、数列 $\{z_n\}$ は初項 $a - rc$、公比 $a - rc$ の等比数列であるから、一般項は

$$ z_n = (a - rc)^n $$

となる。（2）より $\lim_{n \to \infty} z_n = 0$ であるため、$\lim_{n \to \infty} (a - rc)^n = 0$ が成り立つ。これより、等比数列が $0$ に収束する条件から、

$$ |a - rc| < 1 $$

を得る。次に、第2式の漸化式 $w_{n+1} = s w_n + c (a - rc)^n$ について考える。ここで、$c \neq 0$ と仮定して背理法を用いる。

(ア)

$s \neq a - rc$ のとき漸化式を変形して一般項を求める。

$$ w_{n+1} = s w_n + c (a - rc)^n $$

両辺を $s^{n+1}$ で割ると、

$$ \frac{w_{n+1}}{s^{n+1}} = \frac{w_n}{s^n} + \frac{c}{s} \left( \frac{a - rc}{s} \right)^n $$

数列 $\left\{ \frac{w_n}{s^n} \right\}$ の階差数列が求まるので、$n \ge 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{w_n}{s^n} &= \frac{w_1}{s} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{c}{s} \left( \frac{a - rc}{s} \right)^k \\ &= \frac{c}{s} + \frac{c}{s} \frac{\frac{a - rc}{s} \left\{ 1 - \left( \frac{a - rc}{s} \right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{a - rc}{s}} \\ &= \frac{c}{s - (a - rc)} \left\{ 1 - \left( \frac{a - rc}{s} \right)^n \right\} \end{aligned} $$

この式は $n=1$ のときも成り立つ。両辺に $s^n$ を掛けると、

$$ w_n = \frac{c}{s - (a - rc)} \{ s^n - (a - rc)^n \} $$

ここで条件（i）より $s > 1$ であり、先ほど示した $|a - rc| < 1$ より $\lim_{n \to \infty} (a - rc)^n = 0$ であるから、$n \to \infty$ のとき $s^n \to \infty$ となる。したがって、$c \neq 0$ であれば $|w_n| \to \infty$ となり発散する。これは（2）の $\lim_{n \to \infty} w_n = 0$ に矛盾する。

(イ)

$s = a - rc$ のとき漸化式は $w_{n+1} = s w_n + c s^n$ となる。両辺を $s^{n+1}$ で割ると、

$$ \frac{w_{n+1}}{s^{n+1}} = \frac{w_n}{s^n} + \frac{c}{s} $$

数列 $\left\{ \frac{w_n}{s^n} \right\}$ は初項 $\frac{w_1}{s} = \frac{c}{s}$、公差 $\frac{c}{s}$ の等差数列となるから、

$$ \frac{w_n}{s^n} = \frac{c}{s} + (n - 1) \frac{c}{s} = \frac{c}{s} n $$

よって、一般項は

$$ w_n = c n s^{n-1} $$

$s > 1$ であるから、$n \to \infty$ のとき $n s^{n-1} \to \infty$ である。したがって、$c \neq 0$ であれば $|w_n| \to \infty$ となり、同様に $\lim_{n \to \infty} w_n = 0$ に矛盾する。

（ア）, （イ）のいずれの場合も矛盾が生じるため、仮定が誤りであり、$c = 0$ であることが示された。このとき、$|a - rc| < 1$ に $c = 0$ を代入すると、

$$ |a| < 1 $$

となる。以上により、$c = 0$ かつ $|a| < 1$ が示された。

解説

行列の対角化や固有値・固有ベクトルを背景とする問題である。（1）と（2）は問題の誘導に素直に従って計算を進めることで、複雑な行列 $A$ の累乗を、扱いやすい三角行列 $B$ の累乗に帰着させている。（3）では、得られた $B$ から漸化式を作成し、等比数列と階差数列の知識を用いて一般項を正確に評価する力が問われる。「極限が $0$ になる」という条件と「$s > 1$」という条件から、係数 $c$ が $0$ でなければならないことを背理法で論理的に示すのがこの問題の核心部分である。場合分け（$s = a - rc$ と $s \neq a - rc$）を忘れないように注意したい。