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九州大学 2012年理系第4問解説

方針・初手

2次方程式の解と係数の関係を用いて、式を $p$ と $q$ の式として表すことから始める。数列 $\{a_n\}$ は解 $\alpha, \beta$ を用いて表されているため、$a_n$ を展開して基本対称式 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で構成されるように整理する。また、極限の計算においては、等比数列の極限の基本に立ち返り、絶対値が $1$ より大きいか小さいかによる場合分けを行う。

解法1

(1)

2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -p \\ \alpha \beta = q \end{cases} $$

これを用いて、$\alpha^2 + \beta^2$ および $\alpha^3 + \beta^3$ を $p, q$ で表す。

$$ \begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q \\ \alpha^3 + \beta^3 &= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (-p)^3 - 3q(-p) = -p^3 + 3pq \end{aligned} $$

次に、$a_1, a_2, a_3$ をそれぞれ展開して $p, q$ で表す。

$$ \begin{aligned} a_1 &= (\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = q - (-p) + 1 = p + q + 1 \\ a_2 &= (\alpha^2 - 1)(\beta^2 - 1) = \alpha^2\beta^2 - (\alpha^2 + \beta^2) + 1 = q^2 - (p^2 - 2q) + 1 = q^2 - p^2 + 2q + 1 \\ a_3 &= (\alpha^3 - 1)(\beta^3 - 1) = \alpha^3\beta^3 - (\alpha^3 + \beta^3) + 1 = q^3 - (-p^3 + 3pq) + 1 = q^3 + p^3 - 3pq + 1 \end{aligned} $$

$p$ と $q$ はともに整数であるため、それらの和や積からなる $a_1, a_2, a_3$ はすべて整数である。

(2)

条件 $(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$ を満たすのは、以下の2つの場合である。

(i) $|\alpha| < 1$ かつ $|\beta| < 1$ の場合

$n \to \infty$ のとき、$\alpha^n \to 0$ かつ $\beta^n \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (\alpha^n - 1)(\beta^n - 1) = (-1) \cdot (-1) = 1 $$

したがって、極限値は以下のようになる。

$$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1 $$

これは整数である。

(ii) $|\alpha| > 1$ かつ $|\beta| > 1$ の場合

$a_n$ の式を次のように変形する。

$$ a_n = \alpha^n \beta^n \left( 1 - \frac{1}{\alpha^n} \right) \left( 1 - \frac{1}{\beta^n} \right) $$

これより、比をとると以下のようになる。

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\alpha^{n+1} \beta^{n+1} \left( 1 - \frac{1}{\alpha^{n+1}} \right) \left( 1 - \frac{1}{\beta^{n+1}} \right)}{\alpha^n \beta^n \left( 1 - \frac{1}{\alpha^n} \right) \left( 1 - \frac{1}{\beta^n} \right)} = \alpha\beta \frac{ \left( 1 - \frac{1}{\alpha^{n+1}} \right) \left( 1 - \frac{1}{\beta^{n+1}} \right) }{ \left( 1 - \frac{1}{\alpha^n} \right) \left( 1 - \frac{1}{\beta^n} \right) } $$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{\alpha^n} \to 0$ かつ $\frac{1}{\beta^n} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \alpha\beta \cdot \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = \alpha\beta = q $$

したがって、極限値は以下のようになる。

$$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |q| $$

$q$ は整数であるから、極限値 $|q|$ は整数である。

(i), (ii) より、いずれの場合も極限値 $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ は整数であることが示された。

(3)

与えられた極限値 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は無理数であり、整数ではない。もし $(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$ であれば、(2)の結論より極限値は整数となるため矛盾する。また、問題の前提条件として $(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$ がある。したがって、極限値が整数にならないためには、以下が成り立たなければならない。

$$ (|\alpha|-1)(|\beta|-1) < 0 $$

このとき、$a_n$ を次のように変形する。

$$ a_n = \alpha^n (\beta^n - 1) \left( 1 - \frac{1}{\alpha^n} \right) $$

比をとって絶対値をつけると以下のようになる。

$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |\alpha| \cdot \left| \frac{\beta^{n+1}-1}{\beta^n-1} \right| \cdot \left| \frac{ 1 - \frac{1}{\alpha^{n+1}} }{ 1 - \frac{1}{\alpha^n} } \right| $$

$n \to \infty$ のとき、$|\beta| < 1$ より $\beta^n \to 0$ であり、$|\alpha| > 1$ より $\frac{1}{\alpha^n} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |\alpha| \cdot \left| \frac{-1}{-1} \right| \cdot \left| \frac{1}{1} \right| = |\alpha| $$

条件より、この極限値が $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ に等しいので、

$$ |\alpha| = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

よって、$\alpha = \pm \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。それぞれの場合について $p, q$ を求める。

(ア) $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき

$\alpha$ は $x^2 - x - 1 = 0$ の解であるから、$\alpha^2 - \alpha - 1 = 0$ が成り立つ。一方で、$\alpha$ は元の2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の解でもあるから、$\alpha^2 + p\alpha + q = 0$ である。 2つの式の辺々を引くと、

$$ (p+1)\alpha + (q+1) = 0 $$

これに $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を代入して整理する。

$$ (p+1) \frac{1+\sqrt{5}}{2} + q+1 = 0 $$

$$ \frac{p+1}{2} \sqrt{5} + \frac{p+2q+3}{2} = 0 $$

$p, q$ は整数であり、$\sqrt{5}$ は無理数であるから、

$$ \begin{cases} p+1 = 0 \\ p+2q+3 = 0 \end{cases} $$

これを解いて、$p = -1, q = -1$ を得る。このとき、方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ のもう一つの解は $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ であり、$|\beta| = \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$ を満たすので条件に適する。

(イ) $\alpha = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき

$\alpha$ は $x^2 + x - 1 = 0$ の解であるから、$\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$ が成り立つ。同様に $\alpha^2 + p\alpha + q = 0$ との差をとると、

$$ (p-1)\alpha + q+1 = 0 $$

これに $\alpha = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を代入して整理する。

$$ (p-1) \frac{-1-\sqrt{5}}{2} + q+1 = 0 $$

$$ \frac{1-p}{2} \sqrt{5} + \frac{1-p+2q+2}{2} = 0 $$

$p, q$ は整数、$\sqrt{5}$ は無理数であるから、

$$ \begin{cases} 1-p = 0 \\ 3-p+2q = 0 \end{cases} $$

これを解いて、$p = 1, q = -1$ を得る。このとき、方程式 $x^2 + x - 1 = 0$ のもう一つの解は $\beta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ であり、$|\beta| = \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$ を満たすので条件に適する。

(ア), (イ) より、求める $p$ と $q$ の値は $(p, q) = (-1, -1), (1, -1)$ である。

解説

2次方程式の解の累乗を用いた数列の極限を扱う典型的な問題である。(2)で極限が整数になる条件を証明させ、(3)でその対偶的に「極限が無理数になるなら場合分けのどれに該当するか」を絞り込ませる誘導が非常に美しい。等比数列 $r^n$ を含む極限の計算では、公比の絶対値 $|r|$ と $1$ の大小関係で場合分けをすることが鉄則である。本問では2つの解 $\alpha, \beta$ の絶対値がそれぞれ $1$ とどういう大小関係にあるかを整理して記述することがポイントになる。(3)における無理数の相等の性質（$a+b\sqrt{5}=0 \iff a=0 \text{ かつ } b=0$）の利用も頻出の手法である。