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九州大学 2017年理系第5問解説

方針・初手

複素数 $\alpha, w$ を極形式で表し、$z_n = \alpha w^n$ の絶対値と偏角を $n$ を用いて表す。
(2)は $|z_n| \leqq 1$ という不等式を解くため、常用対数を利用して $n$ の範囲を絞る。
(3)は、まず図から $\triangle ABC$ の各頂点の座標を求め、三角形の内部を表す連立不等式を導く。その後、(2)の結果を参考に $n$ の候補を絞り、不等式を満たすか個別に検証する。

解法1

(1) 与えられた $\alpha$ と $w$ を極形式で表すと、

$$ \alpha = 10000 + 10000i = 10000\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) = 10000\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) $$

$$ w = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right) $$

これらを用いると、$z_n$ は次のように表される。

$$ z_n = \alpha w^n = 10000\sqrt{2} \left(\frac{1}{2}\right)^n \left\{ \cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{6} \right) + i\sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{6} \right) \right\} $$

したがって、$z_n$ の絶対値と偏角は以下のようになる。

$$ |z_n| = \frac{10000\sqrt{2}}{2^n} $$

$$ \arg z_n = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{6} $$

(2) $|z_n| \leqq 1$ が成り立つ条件は、

$$ \frac{10000\sqrt{2}}{2^n} \leqq 1 $$

$$ 2^n \geqq 10000\sqrt{2} = 10^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} $$

両辺の常用対数をとると、底の $10$ は $1$ より大きいため、

$$ n \log_{10} 2 \geqq 4 + \frac{1}{2} \log_{10} 2 $$

与えられた $\log_{10} 2 = 0.301$ を代入して計算する。

$$ 0.301 n \geqq 4 + \frac{0.301}{2} = 4.1505 $$

$$ n \geqq \frac{4.1505}{0.301} = \frac{41505}{3010} = 13.78\cdots $$

$n$ は自然数であるから、これを満たす最小の自然数 $n$ は $14$ である。

(3) 点 $C$ は $\frac{i}{\sqrt{2}}$ であるから、その座標は $\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ である。図より、直線 $AC$ および直線 $BC$ と $x$ 軸のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であることから、点 $C$ を通るこれらの直線の方程式はそれぞれ $y = x + \frac{1}{\sqrt{2}}$ および $y = -x + \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる（このとき $\angle C = \frac{\pi}{2}$ となり、斜辺を $AB$ とする直角二等辺三角形の条件と整合する）。

点 $A$ は直線 $y = x + \frac{1}{\sqrt{2}}$ 上にあり、原点からの距離が $1$ で、虚部（$y$ 座標）が負の点である。

$$ x^2 + \left( x + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1 $$

$$ 2x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{2} = 0 $$

これを解くと、

$$ x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4} $$

$y = x + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}$ であり、$y < 0$ より複号はマイナスとなる。したがって、$A\left(\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)$ を得る。

点 $B$ は $y$ 軸に関して点 $A$ と対称であるから、$B\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)$ である。

これより、点 $P_n(x_n, y_n)$ が $\triangle ABC$ の内部に含まれるための条件は、以下の連立不等式を満たすことである。

(i) $y_n < x_n + \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $y_n < -x_n + \frac{1}{\sqrt{2}}$

(iii) $y_n > \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\triangle ABC$ の周および内部の点はすべて原点からの距離が $1$ 以下であり、距離が $1$ となるのは頂点 $A, B$ のみである。したがって、点 $P_n$ が $\triangle ABC$ の内部に含まれるためには $|z_n| < 1$ が必要である。(2)の結果から、これを満たすのは $n \geqq 14$ のときである。

$n = 14$ のとき、 $|z_{14}| = \frac{10000\sqrt{2}}{16384} = \frac{625\sqrt{2}}{1024}$ であり、$\arg z_{14} = \frac{\pi}{4} + \frac{14\pi}{6} = \frac{31\pi}{12} \equiv \frac{7\pi}{12} \pmod{2\pi}$ である。 $x_{14} = |z_{14}| \cos\frac{7\pi}{12}$、$y_{14} = |z_{14}| \sin\frac{7\pi}{12}$ を (i) の左辺から右辺を引いた式に代入すると、

$$ y_{14} - x_{14} = |z_{14}| \left( \sin\frac{7\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12} \right) = \sqrt{2}|z_{14}| \sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}|z_{14}| \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} |z_{14}| $$

$$ \frac{\sqrt{6}}{2} |z_{14}| = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{625\sqrt{2}}{1024} = \frac{625\sqrt{3}}{1024} $$

ここで $625\sqrt{3} > 625 \times 1.73 = 1081.25 > 1024$ より、$y_{14} - x_{14} > 1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、条件 (i) を満たさない。よって $n=14$ は不適。

$n = 15$ のとき、 $|z_{15}| = \frac{|z_{14}|}{2} = \frac{625\sqrt{2}}{2048}$ であり、$\arg z_{15} = \frac{\pi}{4} + \frac{15\pi}{6} = \frac{11\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}$ である。

$$ z_{15} = |z_{15}| \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = |z_{15}| \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) = -\frac{625}{2048} + \frac{625}{2048}i $$

すなわち $x_{15} = -\frac{625}{2048}, y_{15} = \frac{625}{2048}$ である。各条件を検証する。

(i) について $x_{15} + \frac{1}{\sqrt{2}} - y_{15} = -\frac{625}{2048} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{625}{2048} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{625}{1024}$ $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1.41}{2} = 0.705$、$\frac{625}{1024} < 0.625$ より、この値は正であり (i) を満たす。

(ii) について $-x_{15} + \frac{1}{\sqrt{2}} - y_{15} = \frac{625}{2048} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{625}{2048} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ であり (ii) を満たす。

(iii) について $y_{15} = \frac{625}{2048} > 0$ であり、右辺は $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} < 0$ であるから (iii) を満たす。

以上より、$n=15$ のとき点 $P_{15}$ は $\triangle ABC$ の内部に含まれる。したがって、求める最小の自然数は $15$ である。

解説

図形的に点の位置を特定し、それを不等式条件に翻訳して検証する複素数平面の問題である。 (3)において、図中に記された $\frac{\pi}{4}$ という角度から直線 $AC, BC$ の方程式を決定できる。ちなみに、図中の $\frac{\pi}{6}$ という角度は、求めた点 $A$ の座標から $\angle OAC = \frac{\pi}{6}$ となる事実を描写したものであり、図の整合性を確認する材料となっている。また、図形全体が原点からの距離が $1$ 以下の領域に収まっていることに着目すると、(2)の $|z_n| \leqq 1$ という結果を利用して、検証すべき $n$ の値を $14, 15, \cdots$ と容易に絞り込むことができる。