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九州大学 2017年理系第4問解説

方針・初手

$n$ 回目に各人が玉を取り出す確率の推移を、状態遷移図から連立漸化式として立式する。 $n+1$ 回目に玉を取り出すのは、$n$ 回目に誰も赤玉を取り出さなかった場合であり、誰が玉を取り出すかは $n$ 回目に取り出した玉の色と人に依存する。 (2) は3式の辺々を足し合わせる典型手法、(3) は (2) の結果を利用して文字を消去していくことで導出できる。

解法1

(1)

$n+1$ 回目に操作が続くのは、$n$ 回目に玉を取り出した人が赤玉以外（青玉または白玉）を取り出した場合である。各人が赤玉、青玉、白玉を取り出す確率は、それぞれ $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ である。

ルールの (b), (c) より、$n+1$ 回目に A が玉を取り出すのは、以下のいずれかの場合である。

$n$ 回目に A が青玉を取り出す（次の回も同じ A となる）
$n$ 回目に C が白玉を取り出す（C の左隣は A となる）

これらは排反であるから、$a_{n+1}$ について以下の漸化式が成り立つ。

$$ a_{n+1} = \frac{1}{4} a_n + \frac{1}{4} c_n \cdots \text{①} $$

B, C についても同様に考える。$n+1$ 回目に B の番になるのは「Bが青玉」「Aが白玉」を引いた場合であり、$n+1$ 回目に C の番になるのは「Cが青玉」「Bが白玉」を引いた場合である。

$$ b_{n+1} = \frac{1}{4} b_n + \frac{1}{4} a_n \cdots \text{②} $$

$$ c_{n+1} = \frac{1}{4} c_n + \frac{1}{4} b_n \cdots \text{③} $$

また、1回目は A が玉を取り出すので、初項は

$$ a_1 = 1, \quad b_1 = 0, \quad c_1 = 0 $$

である。①, ②, ③ を用いて順に計算する。 $n=1$ のとき、

$$ a_2 = \frac{1}{4}, \quad b_2 = \frac{1}{4}, \quad c_2 = 0 $$

$n=2$ のとき、

$$ a_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{16}, \quad b_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}, \quad c_3 = 0 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} $$

$n=3$ のとき、

$$ a_4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32}, \quad b_4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{64}, \quad c_4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{64} $$

A が 4 回目に勝つ確率は、A が 4 回目に玉を取り出し、かつ赤玉を取り出す確率なので、

$$ \frac{1}{2} a_4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{64} $$

さらに計算を続ける。 $n=4$ のとき、

$$ a_5 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{32} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{64} = \frac{5}{256}, \quad b_5 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{256}, \quad c_5 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{64} = \frac{3}{128} $$

$n=5$ のとき、

$$ a_6 = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{256} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{128} = \frac{11}{1024}, \quad b_6 = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{256} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{256} = \frac{5}{512}, \quad c_6 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{256} = \frac{11}{1024} $$

$n=6$ のとき、

$$ a_7 = \frac{1}{4} \cdot \frac{11}{1024} + \frac{1}{4} \cdot \frac{11}{1024} = \frac{11}{2048} $$

よって、A が 7 回目に勝つ確率は、

$$ \frac{1}{2} a_7 = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2048} = \frac{11}{4096} $$

(2)

①, ②, ③ の辺々を足し合わせると、

$$ a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = \frac{2}{4}(a_n + b_n + c_n) $$

$$ d_{n+1} = \frac{1}{2} d_n $$

数列 $\{d_n\}$ は初項 $d_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、

$$ d_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

(3)

①, ②, ③ を $d_n = a_n + b_n + c_n$ を用いて変形すると、それぞれ次のようになる。

$$ a_{n+1} = \frac{1}{4} (d_n - b_n) \cdots \text{①}' $$

$$ b_{n+1} = \frac{1}{4} (d_n - c_n) \cdots \text{②}' $$

$$ c_{n+1} = \frac{1}{4} (d_n - a_n) \cdots \text{③}' $$

①$'$ に ②$'$ の番号を 1 つ下げた式を代入し、さらに ③$'$ の番号を 2 つ下げた式を代入して、$a$ と $d$ だけの式にする。

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{4} b_n \\ &= \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{4} \left\{ \frac{1}{4} (d_{n-1} - c_{n-1}) \right\} \\ &= \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{16} d_{n-1} + \frac{1}{16} c_{n-1} \\ &= \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{16} d_{n-1} + \frac{1}{16} \left\{ \frac{1}{4} (d_{n-2} - a_{n-2}) \right\} \\ &= \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{16} d_{n-1} + \frac{1}{64} d_{n-2} - \frac{1}{64} a_{n-2} \end{aligned} $$

ここで、(2) より $d_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ であるから、

$$ d_{n-1} = \frac{1}{2} d_{n-2}, \quad d_n = \frac{1}{4} d_{n-2} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} d_{n-2} \right) - \frac{1}{16} \left( \frac{1}{2} d_{n-2} \right) + \frac{1}{64} d_{n-2} - \frac{1}{64} a_{n-2} \\ &= \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{1}{64} \right) d_{n-2} - \frac{1}{64} a_{n-2} \\ &= \frac{3}{64} d_{n-2} - \frac{1}{64} a_{n-2} \end{aligned} $$

$d_{n-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= -\frac{1}{64} a_{n-2} + \frac{3}{64} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \\ &= -\frac{1}{64} a_{n-2} + \frac{3}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

解説

複数の状態を行き来する確率漸化式の典型問題である。初手の立式で隣り合う関係性（特に「左隣」の解釈）を間違えないことが肝要となる。 (1) は手計算でも十分にたどり着ける範囲であり、地道に計算を進めるのが確実である。 (3) のような三項間（実質四項間）の漸化式の導出では、文字を順次消去していく際に和の数列 $d_n$ をうまく活用すると計算の見通しが良くなる。