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九州大学 1997年文系第7問解説

方針・初手

複素数平面における点の回転を定式化し、与えられた条件から $z$ の満たすべき方程式を導きます。

点 $\alpha$ を中心とする角 $\theta$ の回転は、回転角を表す複素数を $u = \cos\theta + i\sin\theta$ としたとき、移る点 $w$ が $w = (z - \alpha)u + \alpha$ と表されることを利用します。この $w$ が $|w| = \frac{1}{2}|\alpha|$ を満たすという条件式を立式し、$|z - (\text{中心})| = (\text{半径})$ の形へ変形していくのが基本方針です。

解法1

点 $\alpha$ を中心として点 $z$ を角 $\theta$ だけ回転して移った点を $w$ とおく。複素数平面における回転の性質より、

$$w = (z - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta) + \alpha$$

と表される。条件より、この点 $w$ の絶対値が $\alpha$ の絶対値の $\frac{1}{2}$ であるから、$|w| = \frac{1}{2}|\alpha|$ を満たす。よって、点 $z$ が満たすべき方程式は以下のようになる。

$$|(z - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta) + \alpha| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

これを基本式として各問を解く。

(1)

$\alpha = i$, $\theta = 90^\circ$ のとき、

$$|\alpha| = |i| = 1$$

$$\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ = i$$

である。これらを基本式に代入すると、

$$|(z - i)i + i| = \frac{1}{2} \cdot 1$$

$$|iz - i^2 + i| = \frac{1}{2}$$

$i^2 = -1$ より、

$$|iz + 1 + i| = \frac{1}{2}$$

式の中身を $i$ でくくり出すと、

$$\left| i \left( z + \frac{1+i}{i} \right) \right| = \frac{1}{2}$$

ここで $|i| = 1$ であり、また

$$\frac{1+i}{i} = \frac{i(1+i)}{i^2} = \frac{-1+i}{-1} = 1 - i$$

であるから、

$$|z + 1 - i| = \frac{1}{2}$$

$$|z - (-1 + i)| = \frac{1}{2}$$

したがって、上の条件を満たす点 $z$ の全体は、点 $-1+i$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円である。

(2)

一般の $(\alpha, \theta)$ について考える。基本式の中身を $\cos\theta + i\sin\theta$ でくくると、

$$\left| (\cos\theta + i\sin\theta) \left\{ (z - \alpha) + \frac{\alpha}{\cos\theta + i\sin\theta} \right\} \right| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

ここで、絶対値の性質 $|AB| = |A||B|$ と、$|\cos\theta + i\sin\theta| = 1$ を用いると、

$$\left| z - \alpha + \frac{\alpha}{\cos\theta + i\sin\theta} \right| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

となる。さらに、複素数の極形式の性質から、

$$\frac{1}{\cos\theta + i\sin\theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos\theta - i\sin\theta$$

であるため、代入して整理する。

$$|z - \alpha + \alpha(\cos\theta - i\sin\theta)| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

$$|z - \{ \alpha - \alpha(\cos\theta - i\sin\theta) \}| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

$$|z - \alpha(1 - \cos\theta + i\sin\theta)| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

したがって、点 $z$ の全体は、点 $\alpha(1 - \cos\theta + i\sin\theta)$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円である。

(3)

点 $\alpha$ が実軸上にあり、原点と異なる点であるから、$\alpha$ を実数（$\alpha \neq 0$）とする。

(2) の結果より、点 $z$ の全体は中心 $\gamma = \alpha(1 - \cos\theta + i\sin\theta)$、半径 $r = \frac{1}{2}|\alpha|$ の円となる。この円が虚軸に接するための条件は、中心 $\gamma$ の実部の絶対値が、円の半径 $r$ と等しくなることである。

中心 $\gamma$ を実部と虚部に分けると、$\alpha$ が実数であることに注意して、

$$\gamma = \alpha(1 - \cos\theta) + i\alpha\sin\theta$$

となる。よって、中心 $\gamma$ の実部は $\alpha(1 - \cos\theta)$ である。円が虚軸に接する条件は、

$$|\alpha(1 - \cos\theta)| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

$\alpha \neq 0$ より $|\alpha| > 0$ であるから、両辺を $|\alpha|$ で割ることができる。

$$|1 - \cos\theta| = \frac{1}{2}$$

ここで、$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より、常に $1 - \cos\theta \geqq 0$ である。したがって、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$1 - \cos\theta = \frac{1}{2}$$

$$\cos\theta = \frac{1}{2}$$

与えられた角度の範囲 $0^\circ \leqq \theta < 360^\circ$ において、この方程式を解くと、

$$\theta = 60^\circ, 300^\circ$$

解法2

図形的な意味を考えて (2) を解く別解を示す。

点 $\alpha$ を中心として点 $z$ を角 $\theta$ だけ回転して移った点を $w$ とすると、条件は $|w| = \frac{1}{2}|\alpha|$ である。これは、点 $w$ が原点を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円周上を動くことを意味する。

逆に、点 $z$ は、点 $w$ を点 $\alpha$ を中心として角 $-\theta$ だけ回転した点である。

円を回転移動させても、その半径は変わらず、中心の位置のみが回転移動する。点 $w$ の描く図形は「原点 $0$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円」であるから、点 $z$ の描く図形は、「原点 $0$ を点 $\alpha$ を中心に角 $-\theta$ 回転した点」を中心とする、同じく半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円となる。

新しい中心の位置を $\gamma$ とすると、原点 $0$ を点 $\alpha$ を中心に $-\theta$ 回転する式は、

$$\gamma = (0 - \alpha)\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\} + \alpha$$

$$\gamma = -\alpha(\cos\theta - i\sin\theta) + \alpha$$

$$\gamma = \alpha(1 - \cos\theta + i\sin\theta)$$

となる。したがって、点 $z$ の全体は、点 $\alpha(1 - \cos\theta + i\sin\theta)$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円である。

解説

複素数平面における任意の点を中心とした回転の公式と、絶対値を含む方程式の図形的な意味を問う問題です。

(2) において、数式上で変形を行う場合は、絶対値の中にある $z$ の係数（今回は $\cos\theta + i\sin\theta$）をくくり出して $|z - \gamma| = r$ の形を作ることが定石です。その際、回転を表す複素数の絶対値が $1$ になることや、逆数が共役複素数になることが計算をシンプルにする鍵となります。

また、解法2で示したように「$w$ の軌跡全体を逆回転させる」という図形的な視点を持つと、見通しよく解答することができます。(3) の「円が虚軸（$y$軸）に接する」という条件を、「中心の実部（$x$座標）の絶対値が半径と等しい」と言い換えるのも図形問題の基本です。