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九州大学 1997年理系第7問解説

方針・初手

問題文の条件を複素数の方程式で表すことが第一歩である。点 $\alpha$ を中心とする回転を複素数の積を用いて立式し、与えられた絶対値の条件に代入して点 $z$ の軌跡の式を導出する。式変形により円の方程式の標準形に帰着させる方法（解法1）と、図形の移動として捉える方法（解法2）が考えられる。

解法1

点 $z$ を点 $\alpha$ を中心として角 $\theta$ だけ回転した点を $w$ とおくと、

$$w - \alpha = e^{i\theta}(z - \alpha)$$

$$w = e^{i\theta}(z - \alpha) + \alpha$$

と表せる。移った点 $w$ の絶対値が $\alpha$ の絶対値の $\frac{1}{2}$ であるから、

$$|w| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

が成り立つ。

(1) $\alpha = i, \theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$w = e^{i\frac{\pi}{2}}(z - i) + i = i(z - i) + i = iz + 1 + i$$

となる。これを条件式に代入すると、

$$|iz + 1 + i| = \frac{1}{2}|i|$$

$$\left| i(z - i + 1) \right| = \frac{1}{2}$$

$|i| = 1$ より、

$$|z - (-1 + i)| = \frac{1}{2}$$

したがって、点 $z$ の全体は、点 $-1 + i$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円である。

(2) 一般の $\alpha, \theta$ について考える。$w$ の式を条件式に代入すると、

$$|e^{i\theta}(z - \alpha) + \alpha| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

左辺の絶対値の中を $e^{i\theta}$ でくくると、

$$\left| e^{i\theta} \left( z - \alpha + \alpha e^{-i\theta} \right) \right| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

$$|e^{i\theta}| \left| z - \alpha(1 - e^{-i\theta}) \right| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

$|e^{i\theta}| = 1$ であるから、

$$\left| z - \alpha(1 - e^{-i\theta}) \right| = \frac{1}{2}|\alpha|$$

点 $\alpha$ は原点と異なるため $|\alpha| > 0$ である。したがって、点 $z$ の全体は、点 $\alpha(1 - e^{-i\theta})$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円である。

(3) 点 $\alpha$ は原点と異なる実軸上の点であるから、実数 $a \ (a \neq 0)$ を用いて $\alpha = a$ とおける。 (2) の円の中心を表す複素数 $\gamma$ は、

$$\gamma = a(1 - e^{-i\theta}) = a(1 - \cos\theta + i\sin\theta) = a(1 - \cos\theta) + ia\sin\theta$$

となる。この円が虚軸に接するための条件は、中心の $x$ 座標（実部）の絶対値が円の半径に等しくなることであるから、

$$|a(1 - \cos\theta)| = \frac{1}{2}|a|$$

$$|a| |1 - \cos\theta| = \frac{1}{2}|a|$$

$a \neq 0$ より、両辺を $|a|$ で割ると、

$$|1 - \cos\theta| = \frac{1}{2}$$

ここで、$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より $1 - \cos\theta \geqq 0$ であるから、絶対値記号をそのまま外すことができ、

$$1 - \cos\theta = \frac{1}{2}$$

$$\cos\theta = \frac{1}{2}$$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲でこの方程式を解くと、

$$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$$

解法2

図形的な意味を考えて軌跡を導出する。

点 $z$ を点 $\alpha$ の周りに角 $\theta$ だけ回転した点を $w$ とすると、条件より $|w| = \frac{1}{2}|\alpha|$ である。これは、点 $w$ が原点 $O$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円 $C'$ 上を動くことを意味する。

逆に考えると、点 $z$ は、円 $C'$ 上の点 $w$ を、点 $\alpha$ の周りに角 $-\theta$ だけ回転した点である。したがって、点 $z$ が描く図形 $C$ は、円 $C'$ 全体を点 $\alpha$ の周りに角 $-\theta$ 回転した図形となる。円を回転させても図形は円のままであり、半径は変化しないため、図形 $C$ は半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円である。

また、図形 $C$ の中心を表す複素数 $\gamma$ は、円 $C'$ の中心 $O(0)$ を点 $\alpha$ の周りに角 $-\theta$ 回転した点であるから、

$$\gamma - \alpha = e^{-i\theta}(0 - \alpha)$$

$$\gamma = \alpha(1 - e^{-i\theta})$$

と求められる。

(1) $\alpha = i, \theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、図形 $C$ は半径 $\frac{1}{2}|i| = \frac{1}{2}$ の円である。中心 $\gamma$ は、

$$\gamma = i \left( 1 - e^{-i\frac{\pi}{2}} \right) = i(1 - (-i)) = i(1 + i) = -1 + i$$

したがって、点 $z$ の全体は、点 $-1 + i$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円である。

(2) 上記で導出した通り、点 $z$ の全体は、点 $\alpha(1 - e^{-i\theta})$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}|\alpha|$ の円である。

(3) （解法1の (3) と同様の計算となるため省略）

解説

複素数平面における回転と絶対値の基本的な扱いを問う問題である。与えられた「点 $\alpha$ を中心とする回転」を正しく立式できるかが第一の関門となる。解法1のように式変形を通して軌跡を求める方法が王道であるが、解法2のように図形の移動として捉えると、計算量を減らしつつ見通しよく解くことができる。 (3) における「円が虚軸に接する条件」は、「中心の実部の絶対値が半径に等しい」と言い換えられるかがポイントである。