名古屋大学 2018年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) 二項定理を用いて展開し、各項の係数 ${}_p\text{C}_k$ ($1 \leqq k \leqq p-1$) が素数 $p$ で割り切れることを利用します。

(2) 二項定理による展開式を用いるか、法を $2$ とした合同式を利用して証明します。

(3) (1) と (2) の結果を組み合わせます。(1) より $p$ を法とする合同式が、(2) より $2$ を法とする合同式が得られるため、これらを連立させて $2p$ で割った余りを求めます。$2$ と $p$ が互いに素になるかどうかで、$p=2$ の場合と $p \ge 3$（奇素数）の場合に分けて考えます。

解法1

(1)

二項定理より、以下の展開式が成り立ちます。

$$ (a+b)^p = \sum_{k=0}^p {}_p\text{C}_k a^{p-k} b^k = a^p + b^p + \sum_{k=1}^{p-1} {}_p\text{C}_k a^{p-k} b^k $$

したがって、移項すると次のようになります。

$$ (a+b)^p - a^p - b^p = \sum_{k=1}^{p-1} {}_p\text{C}_k a^{p-k} b^k $$

ここで、$1 \leqq k \leqq p-1$ のとき、二項係数 ${}_p\text{C}_k$ は次のように表せます。

$$ {}_p\text{C}_k = \frac{p!}{k!(p-k)!} = \frac{p(p-1)\cdots(p-k+1)}{k!} $$

$p$ は素数であり、$1 \leqq k \leqq p-1$ より分母の $k!$ は素因数 $p$ を持ちません。

よって、${}_p\text{C}_k$ は $p$ の倍数となります。

以上より、$\sum_{k=1}^{p-1} {}_p\text{C}_k a^{p-k} b^k$ の各項はすべて $p$ の倍数となるため、$(a+b)^p - a^p - b^p$ は $p$ で割り切れます。（証明終）

(2)

法を $2$ とした合同式で考えます。

$a+2 \equiv a \pmod 2$ であるから、両辺を $p$ 乗して以下が成り立ちます。

$$ (a+2)^p \equiv a^p \pmod 2 $$

これより、次が導かれます。

$$ (a+2)^p - a^p \equiv 0 \pmod 2 $$

したがって、$(a+2)^p - a^p$ は偶数です。（証明終）

(3)

(1) の結果は任意の整数 $a, b$ で成り立つため、$b=2$ とすると、$(a+2)^p - a^p - 2^p$ は $p$ の倍数となります。

すなわち、法を $p$ として次が成り立ちます。

$$ (a+2)^p - a^p \equiv 2^p \pmod p $$

ここで、さらに (1) の結果において $a=1, b=1$ とすると、$(1+1)^p - 1^p - 1^p$ も $p$ の倍数であるから、次が成り立ちます。

$$ 2^p - 2 \equiv 0 \pmod p $$

すなわち $2^p \equiv 2 \pmod p$ となります。これを上の式に代入します。

$$ (a+2)^p - a^p \equiv 2 \pmod p $$

ここで、$X = (a+2)^p - a^p$ とおきます。

(2) の結果より、$X$ は偶数です。

求めるのは $X$ を $2p$ で割った余りです。$p$ が $2$ か奇素数かで場合分けをします。

(i) $p=2$ のとき

割る数は $2p = 4$ となります。$X$ を直接計算します。

$$ X = (a+2)^2 - a^2 = (a^2+4a+4) - a^2 = 4a + 4 = 4(a+1) $$

$a+1$ は整数であるから、$X$ は $4$ で割り切れます。

よって、余りは $0$ です。

(ii) $p \ge 3$（$p$ が奇素数）のとき

$X \equiv 2 \pmod p$ より、$X-2$ は $p$ の倍数です。

また、$X$ は偶数であるから、$X-2$ も偶数であり、$2$ の倍数です。

$p$ は奇素数であるから、$2$ と $p$ は互いに素です。

したがって、$X-2$ は $2$ と $p$ の最小公倍数である $2p$ の倍数となります。

すなわち、ある整数 $k$ を用いて次のように表せます。

$$ X - 2 = 2pk $$

$$ X = 2pk + 2 $$

$p \ge 3$ より $0 \leqq 2 < 2p$ を満たすため、$X$ を $2p$ で割った余りは $2$ となります。

(i), (ii) より、$(a+2)^p - a^p$ を $2p$ で割った余りは、$p=2$ のとき $0$、$p \ge 3$ のとき $2$ です。

解法2

(2) について、二項定理を用いる別解

二項定理より、$(a+2)^p$ を展開します。

$$ (a+2)^p = \sum_{k=0}^p {}_p\text{C}_k a^{p-k} 2^k = a^p + \sum_{k=1}^p {}_p\text{C}_k a^{p-k} 2^k $$

したがって、$a^p$ を引くと次のようになります。

$$ (a+2)^p - a^p = \sum_{k=1}^p {}_p\text{C}_k a^{p-k} 2^k $$

$\sum$ の各項は $2^k \ (k \geqq 1)$ を因数に持つため、すべて偶数となります。

偶数の和は偶数であるから、$(a+2)^p - a^p$ は偶数です。（証明終）

解説

(1) はフェルマーの小定理の証明（数学的帰納法によるもの）の過程で用いられる有名な補題です。二項係数 ${}_p\text{C}_k$ が $p$ の倍数になるという性質は、整数問題で頻繁に利用されるため確実に押さえておきたい事項です。

(2) は合同式を用いれば一瞬で示せますが、解法2のように二項定理を用いて展開しても容易にわかります。

(3) は「互いに素な $2$ つの整数 $m, n$ について、ある数が $m$ の倍数かつ $n$ の倍数であれば、その数は $mn$ の倍数である」という重要な性質を利用します。合同式の法である $p$ と $2$ が互いに素かどうかで、$p=2$ の場合と奇素数の場合とで扱いが変わる点に注意が必要です。合同式をうまく活用することで、見通しよく処理できます。

答え

$p=2$ のとき $0$、$p \ge 3$ のとき $2$