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九州大学 2021年理系第3問解説

方針・初手

与えられた条件 $(*)$ は、「関数 $f(t) = e^t - xt$ を考えたとき、すべての実数 $t$ において $y \leqq f(t)$ が成り立つ」ことと同値である。これは、変数 $t$ を動かしたときの $f(t)$ の最小値（または下限）を求め、それが $y$ 以上であるという条件に帰着させることで処理できる。関数 $f(t)$ の振る舞いは $x$ の符号によって変わるため、$x$ の値による場合分けを行う。

解法1

条件 $(*)$ の処理

$f(t) = e^t - xt$ とおく。条件 $(*)$ は、すべての実数 $t$ に対して $y \leqq f(t)$ が成り立つことである。 $t$ で微分すると

$$ f'(t) = e^t - x $$

となる。$x$ の値によって場合分けを行う。

(i) $x < 0$ のときすべての実数 $t$ について $e^t > 0$ であり、$-x > 0$ であるから、$f'(t) > 0$ となり $f(t)$ は単調に増加する。また、$\lim_{t \to -\infty} e^t = 0$ であり、$\lim_{t \to -\infty} (-xt) = -\infty$ であるから、

$$ \lim_{t \to -\infty} f(t) = -\infty $$

となる。したがって、すべての実数 $t$ に対して $y \leqq f(t)$ を満たすような実数 $y$ は存在しない。

(ii) $x = 0$ のとき $f(t) = e^t$ である。すべての実数 $t$ に対して $e^t > 0$ であり、$\lim_{t \to -\infty} e^t = 0$ である。したがって、すべての実数 $t$ に対して $y \leqq e^t$ を満たすための $y$ の条件は

$$ y \leqq 0 $$

である。

(iii) $x > 0$ のとき $f'(t) = 0$ とすると、$e^t = x$ より $t = \log x$ である。 $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccc} t & \cdots & \log x & \cdots \\ \hline f'(t) & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} $$

増減表より、$f(t)$ は $t = \log x$ のとき最小値をとり、その値は

$$ f(\log x) = e^{\log x} - x \log x = x - x \log x $$

である。したがって、すべての実数 $t$ に対して $y \leqq f(t)$ が成り立つための条件は

$$ y \leqq x - x \log x $$

である。

(1) 領域の図示

以上より、求める領域の条件は以下のようになる。

$$ \begin{cases} y \leqq 0 & (x = 0 \text{ のとき}) \\ y \leqq x - x \log x & (x > 0 \text{ のとき}) \end{cases} $$

境界線となる曲線 $y = x - x \log x$ ($x > 0$) について調べる。$g(x) = x - x \log x$ とおくと、

$$ g'(x) = 1 - \left(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = -\log x $$

$$ g''(x) = -\frac{1}{x} < 0 $$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときである。$g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - \\ \hline g''(x) & & - & - & - \\ \hline g(x) & (0) & \nearrow & 1 & \searrow \end{array} $$

また、$x$ 軸との交点は $g(x) = 0$ とすると $x(1 - \log x) = 0$ であり、$x > 0$ より $x = e$ である。問題文で与えられた $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を用いると、

$$ \lim_{x \to +0} g(x) = \lim_{x \to +0} (x - x \log x) = 0 $$

となるため、曲線は原点に近づく。さらに、$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} x(1 - \log x) = -\infty$ である。

したがって、求める領域は、曲線 $y = x - x \log x$ ($x > 0$) の下側、および $y$ 軸の $y \leqq 0$ の部分（境界を含む）である。座標平面上に図示すると、極大点 $(1, 1)$ と $x$ 切片 $(e, 0)$ を持ち、原点を白丸で除いた上に凸の曲線の下側領域に、原点を含む $y$ 軸の下半分の半直線が加わったものとなる。

(2) 体積の計算

集合 $S$ は、$x \geqq 1$, $y \geqq 0$, $y \leqq x - x \log x$ で表される領域である。 $x \geqq 1$ において $x - x \log x \geqq 0$ となるのは $1 \leqq x \leqq e$ の範囲である。したがって、$S$ は $1 \leqq x \leqq e$ の範囲で、曲線 $y = x - x \log x$ と $x$ 軸で囲まれた部分である。この領域を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ は

$$ V = \pi \int_{1}^{e} (x - x \log x)^2 dx = \pi \int_{1}^{e} x^2 (1 - \log x)^2 dx $$

部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int x^2 (1 - \log x)^2 dx &= \int \left(\frac{x^3}{3}\right)' (1 - \log x)^2 dx \\ &= \frac{x^3}{3} (1 - \log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot 2(1 - \log x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) dx \\ &= \frac{x^3}{3} (1 - \log x)^2 + \frac{2}{3} \int x^2 (1 - \log x) dx \end{aligned} $$

さらに右辺の積分を部分積分する。

$$ \begin{aligned} \int x^2 (1 - \log x) dx &= \int \left(\frac{x^3}{3}\right)' (1 - \log x) dx \\ &= \frac{x^3}{3} (1 - \log x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) dx \\ &= \frac{x^3}{3} (1 - \log x) + \int \frac{x^2}{3} dx \\ &= \frac{x^3}{3} (1 - \log x) + \frac{x^3}{9} \end{aligned} $$

これらを定積分に適用する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left[ \frac{x^3}{3} (1 - \log x)^2 \right]_{1}^{e} + \frac{2\pi}{3} \left[ \frac{x^3}{3} (1 - \log x) + \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{e} \\ &= \pi \left( 0 - \frac{1}{3} \right) + \frac{2\pi}{3} \left\{ \left( 0 + \frac{e^3}{9} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \right) \right\} \\ &= -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} \left( \frac{e^3}{9} - \frac{4}{9} \right) \\ &= -\frac{\pi}{3} + \frac{2e^3 \pi}{27} - \frac{8\pi}{27} \\ &= \frac{2e^3 - 17}{27} \pi \end{aligned} $$

解説

「すべての実数 $t$ について $y \leqq f(t)$」という条件は、「$y \leqq (\text{関数 } f(t) \text{ の最小値または下限})$」と言い換えるのが定石である。関数 $f(t)$ を $t$ で微分する際に、$x$ が定数扱いになることに注意し、$x$ の符号による場合分けを漏れなく行う必要がある。体積計算における $\int x^2 (1 - \log x)^2 dx$ のような対数関数を含む積分は、$(x^\alpha)'$ と $(\log x)^\beta$ の形を見立てて部分積分を繰り返すことで計算できる。計算量が多くミスが起きやすいため、丁寧に展開して符号に注意したい。