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九州大学 2022年文系第3問解説

方針・初手

(1) は因数定理を利用し、$f(2)=0$ となることを計算して示す。
(2) は $f(x)$ を $x-2$ で因数分解し、残りの3次方程式について考える。「虚数解をもつ」という条件から、3次方程式の解が1つの実数解と2つの共役な虚数解になることを利用し、解と係数の関係から実数解の符号を調べる。
(3) は (2) で設定した解と係数の関係を用い、実数解と虚数解の実部・虚部が整数であるという条件から方程式を立て、約数の関係を利用して候補を絞り込む。

解法1

(1)

$f(x) = x^4 + 6x^3 - kx^2 + 2kx - 64$ に $x=2$ を代入する。

$$ \begin{aligned} f(2) &= 2^4 + 6 \cdot 2^3 - k \cdot 2^2 + 2k \cdot 2 - 64 \\ &= 16 + 48 - 4k + 4k - 64 \\ &= 0 \end{aligned} $$

因数定理より、$f(x)$ は $x-2$ で割り切れる。

(2)

(1) より、$f(x)$ を $x-2$ で割ると、

$$ f(x) = (x-2)(x^3 + 8x^2 + (16-k)x + 32) $$

と因数分解できる。ここで、$g(x) = x^3 + 8x^2 + (16-k)x + 32$ とおく。方程式 $f(x)=0$ の解は、$x=2$ および $g(x)=0$ の解である。条件より $f(x)=0$ が虚数解をもつため、$g(x)=0$ が虚数解をもつ。実数係数の3次方程式 $g(x)=0$ が虚数解をもつとき、その解は1つの実数解と、互いに共役な2つの虚数解となる。これらを $\alpha, \beta, \bar{\beta}$ （$\alpha$ は実数、$\beta$ は虚数、$\bar{\beta}$ は $\beta$ の共役複素数）とおく。 3次方程式の解と係数の関係より、3つの解の積について以下が成り立つ。

$$ \alpha \beta \bar{\beta} = -32 $$

ここで $\beta \bar{\beta} = |\beta|^2$ であり、$\beta$ は虚数であるため $|\beta|^2 > 0$ である。したがって、

$$ \alpha = -\frac{32}{|\beta|^2} < 0 $$

となる。よって、$g(x)=0$ は負の実数解 $\alpha$ をもち、したがって $f(x)=0$ も負の実数解をもつことが示された。

(3)

(2)の議論を引き継ぐ。$f(x)=0$ の実数解は $x=2$ および $x=\alpha$ であり、これらはすべて整数であるから、$\alpha$ は負の整数である。また、虚数解 $\beta, \bar{\beta}$ の実部と虚部がともに整数であるから、$\beta = a+bi$ （$a, b$ は整数、$b \neq 0$）とおくことができる。このとき、$\bar{\beta} = a-bi$ となる。 $g(x)=0$ の解 $\alpha, a+bi, a-bi$ について、解と係数の関係から以下の3式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + (a+bi) + (a-bi) = -8 \\ \alpha\{(a+bi) + (a-bi)\} + (a+bi)(a-bi) = 16-k \\ \alpha(a+bi)(a-bi) = -32 \end{cases} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{cases} \alpha + 2a = -8 & \cdots \text{①} \\ 2a\alpha + a^2 + b^2 = 16-k & \cdots \text{②} \\ \alpha(a^2 + b^2) = -32 & \cdots \text{③} \end{cases} $$

となる。 ①より $\alpha = -2(a+4)$ と表せるため、$\alpha$ は負の偶数である。さらに③と、$a,b$ が整数で $b \neq 0$ であることから $a^2+b^2$ は正の整数となるため、$\alpha$ は $-32$ の負の約数である。条件を満たす $\alpha$ の候補は $\alpha = -2, -4, -8, -16, -32$ である。それぞれについて調べる。

(ア) $\alpha = -2$ のとき ①より $-2+2a = -8$ となり $a = -3$。 ③に代入すると $-2(9+b^2) = -32$ より $b^2 = 7$。これを満たす整数 $b$ は存在しないため不適。

(イ) $\alpha = -4$ のとき ①より $-4+2a = -8$ となり $a = -2$。 ③に代入すると $-4(4+b^2) = -32$ より $b^2 = 4$。 $b \neq 0$ を満たす整数 $b = \pm 2$ が存在する。このとき②より、$2(-2)(-4) + (-2)^2 + (\pm 2)^2 = 16-k$。 $16 + 4 + 4 = 16-k$ となり、$k = -8$。

(ウ) $\alpha = -8$ のとき ①より $-8+2a = -8$ となり $a = 0$。 ③に代入すると $-8(0+b^2) = -32$ より $b^2 = 4$。 $b \neq 0$ を満たす整数 $b = \pm 2$ が存在する。このとき②より、$2(0)(-8) + 0^2 + (\pm 2)^2 = 16-k$。 $4 = 16-k$ となり、$k = 12$。

(エ) $\alpha = -16$ のとき ①より $-16+2a = -8$ となり $a = 4$。 ③に代入すると $-16(16+b^2) = -32$ より $b^2 = -14$。これを満たす実数 $b$ は存在しないため不適。

(オ) $\alpha = -32$ のとき ①より $-32+2a = -8$ となり $a = 12$。 ③に代入すると $-32(144+b^2) = -32$ より $b^2 = -143$。これを満たす実数 $b$ は存在しないため不適。

以上**(ア)〜(オ)**より、求める $k$ の値は $k = -8, 12$ である。

解説

(1)は基本定理である因数定理を用いて、$x=2$ を代入するだけで証明できる。
(2)は $f(x)$ を因数分解したのちの3次方程式に注目する。実数係数方程式が虚数解をもつならば共役な複素数も解になることを利用し、解と係数の関係から実数解の符号を調べる方針がスムーズである。なお、$g(x)=x^3+8x^2+(16-k)x+32$ とおいたとき、$g(0)=32>0$ かつ $\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$ であることから、中間値の定理を用いて負の実数解の存在を示すことも可能である。
(3)は(2)で立てた解と係数の関係の式に対して、整数条件（不定方程式）を処理する典型問題である。約数・倍数の関係から候補を絞り込み、場合分けをしてしらみつぶしに調べることが確実な解法となる。