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九州大学 2022年理系第3問解説

方針・初手

与えられた方程式 $n^4 = 1 + 210m^2$ を変形し、$(n^2 - 1)(n^2 + 1) = 210m^2$ として考えることが基本となる。 **(1)**は、まず $n$ の偶奇を判定して各分数が整数であることを示し、差を考えることで最大公約数が $1$ になることを示す。 **(2)**は、$168 = 8 \times 3 \times 7$ と素因数分解できることに着目し、$n^2 - 1$ が $8$ の倍数、$3$ の倍数、$7$ の倍数であることをそれぞれ独立に示す。 **(3)は、(2)**の結果を利用して $n^2 - 1 = 168K$ （$K$ は自然数）とおき、方程式を整理してペル方程式に帰着させることで特殊解を見つける。

解法1

(1)

方程式 $n^4 = 1 + 210m^2$ より、右辺の $1 + 210m^2$ は奇数であるから、$n^4$ は奇数である。したがって $n$ も奇数であり、$n^2$ は奇数である。ゆえに、$n^2 + 1$ と $n^2 - 1$ はともに偶数となるため、$\frac{n^2+1}{2}$ と $\frac{n^2-1}{2}$ は整数である。

この $2$ つの整数の最大公約数を $g$ とおく。 $g$ は $\frac{n^2+1}{2}$ と $\frac{n^2-1}{2}$ の両方を割り切るので、その差も割り切る。

$$ \frac{n^2+1}{2} - \frac{n^2-1}{2} = 1 $$

したがって、$g$ は $1$ を割り切る自然数であるから、$g = 1$ となる。ゆえに、$\frac{n^2+1}{2}$ と $\frac{n^2-1}{2}$ は互いに素な整数である。

(2)

$168 = 8 \times 3 \times 7$ であり、$8, 3, 7$ は互いに素である。したがって、$n^2 - 1$ が $8$ の倍数、$3$ の倍数、$7$ の倍数であることをそれぞれ示せばよい。

まず、$n^2 - 1$ が $8$ の倍数であることを示す。 **(1)**より $n$ は奇数であるから、$k$ を整数として $n = 2k+1$ とおける。

$$ n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1) $$

$k(k+1)$ は連続する $2$ つの整数の積であるから偶数である。よって、$4k(k+1)$ は $8$ の倍数となり、$n^2 - 1$ は $8$ の倍数である。

次に、$n^2 - 1$ が $3$ の倍数であることを示す。 ①より $n^4 - 1 = 210m^2$ であり、$210$ は $3$ の倍数なので、$n^4 - 1$ は $3$ の倍数である。すなわち $n^4 \equiv 1 \pmod 3$ が成り立つ。もし $n \equiv 0 \pmod 3$ であれば $n^4 \equiv 0 \pmod 3$ となり矛盾するため、$n$ は $3$ の倍数ではない。このとき $n \equiv \pm 1 \pmod 3$ であり、いずれの場合も $n^2 \equiv 1 \pmod 3$ となる。よって、$n^2 - 1 \equiv 0 \pmod 3$ となり、$n^2 - 1$ は $3$ の倍数である。

最後に、$n^2 - 1$ が $7$ の倍数であることを示す。 $210$ は $7$ の倍数でもあるので、同様に $n^4 \equiv 1 \pmod 7$ が成り立つ。もし $n \equiv 0 \pmod 7$ であれば $n^4 \equiv 0 \pmod 7$ となり矛盾するため、$n$ は $7$ の倍数ではない。 $n \not\equiv 0 \pmod 7$ のとき、平方剰余を考えると $n^2 \equiv 1, 2, 4 \pmod 7$ のいずれかである。それぞれの両辺を $2$ 乗すると、

$$ \begin{aligned} (n^2)^2 &\equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 7 \\ (n^2)^2 &\equiv 2^2 \equiv 4 \pmod 7 \\ (n^2)^2 &\equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod 7 \end{aligned} $$

$n^4 \equiv 1 \pmod 7$ をみたすのは $n^2 \equiv 1 \pmod 7$ のときのみである。よって、$n^2 - 1 \equiv 0 \pmod 7$ となり、$n^2 - 1$ は $7$ の倍数である。

以上より、$n^2 - 1$ は $8, 3, 7$ の倍数であり、これらは互いに素であるから、$8 \times 3 \times 7 = 168$ の倍数であることが示された。

(3)

**(2)**の結果より、$K$ を自然数として $n^2 - 1 = 168K$ とおける。このとき $n^2 + 1 = 168K + 2$ となる。これらを方程式 $(n^2 - 1)(n^2 + 1) = 210m^2$ に代入する。

$$ 168K(168K + 2) = 210m^2 $$

両辺を整理する。

$$ 336K(84K + 1) = 210m^2 $$

$$ 16K(84K + 1) = 10m^2 $$

$$ 8K(84K + 1) = 5m^2 $$

$K$ と $84K+1$ は互いに素な自然数である。また、$84K+1$ は奇数であるから、$8$ を因数に持たない。したがって、積 $8K(84K+1)$ が $5$ と平方数の積になるためには、$5$ を $K$ と $84K+1$ のどちらが因数として持つかで場合分けが考えられるが、ここでは条件をみたす解を $1$ つ見つければよい。

$K$ が $5$ を因数に持ち、$x, y$ を自然数として

$$ \begin{cases} K = 10x^2 \\ 84K + 1 = y^2 \end{cases} $$

と表せる場合を考える。これを $8K(84K+1) = 5m^2$ に代入すると、

$$ 8(10x^2)y^2 = 5m^2 $$

$$ 80x^2 y^2 = 5m^2 $$

$$ m^2 = 16x^2 y^2 $$

となり、$m = 4xy$ として自然数 $m$ が得られるため、条件に適合する。 $K = 10x^2$ を $84K + 1 = y^2$ に代入して整理する。

$$ 84(10x^2) + 1 = y^2 $$

$$ y^2 - 840x^2 = 1 $$

このペル方程式の特殊解を探す。 $x = 1$ を代入すると、

$$ y^2 = 840 + 1 = 841 = 29^2 $$

となり、$y = 29$ がこれをみたす。このとき、$K = 10 \times 1^2 = 10$ である。 $K = 10$ のとき、

$$ n^2 - 1 = 168 \times 10 = 1680 $$

$$ n^2 = 1681 = 41^2 $$

$n$ は自然数であるから、$n = 41$ となる。また、$m = 4xy = 4 \times 1 \times 29 = 116$ となる。

このとき、

$$ \begin{aligned} n^4 - 1 &= 41^4 - 1 = 2825761 - 1 = 2825760 \\ 210m^2 &= 210 \times 116^2 = 210 \times 13456 = 2825760 \end{aligned} $$

となり、確かに与えられた方程式をみたす。以上より、条件をみたす自然数の組の $1$ つが求まった。

解説

整数方程式に関する標準的で教育的な問題である。 **(1)と(2)は(3)**への強力な誘導となっている。平方数の差の形 $(n^2 - 1)(n^2 + 1)$ に因数分解し、素因数の分配を考えるのが整数問題の定石である。 **(2)**における倍数証明では、「偶奇の確認（$\pmod 8$）」「フェルマーの小定理や平方剰余（$\pmod 3, \pmod 7$）」を利用して因数を絞り込んでいる。 **(3)**では、互いに素な $2$ 数の積が平方数の定数倍になることから、ペル方程式 $y^2 - Dx^2 = 1$ を導き出している。「1つ求めよ」という要求から、自明に近い小さな $x$ で成立する解を見つければ十分であると判断して計算を進めるのがポイントとなる。