九州大学 2022年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) 整式の除法を考え、余りの次数に着目する。割る式が3次式であることから、余りは2次以下となることを利用し、与えられた形に式変形できることを示す。

(2) (1)で導いた恒等式について、両辺に $x = \alpha$ や $x = \beta$ を代入することで係数を決定する。さらに、両辺を $x$ で微分してから値を代入することで、新たな条件式を引き出す。

(3) 求めた $A$ の式において $\beta \to \alpha$ の極限をとると $\frac{0}{0}$ の不定形になる。これを解消するため、$\beta = \alpha + h$ とおき、二項定理を用いて展開して $h \to 0$ の極限に帰着させる。

解法1

(1)

$x^n$ を3次式 $(x-\alpha)(x-\beta)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とおくと、 $$ x^n = (x-\alpha)(x-\beta)^2 Q(x) + R(x) $$ と表せ、このとき $R(x)$ は2次以下の整式である。

ここで、$R(x)$ を2次式 $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割ったときの商を $A$、余りを $B'x + C'$ （$A, B', C'$ は実数）とすると、 $$ R(x) = A(x-\alpha)(x-\beta) + B'x + C' $$ と表すことができる。さらにこの式の右辺は、 $$ R(x) = A(x-\alpha)(x-\beta) + B'(x-\alpha) + B'\alpha + C' $$ と変形できる。ここで、$B=B'$、$C=B'\alpha+C'$ とおくと、$B, C$ は実数であり、 $$ R(x) = A(x-\alpha)(x-\beta) + B(x-\alpha) + C $$ となる。

以上より、与式をみたす実数 $A, B, C$ と整式 $Q(x)$ が存在することが示された。

(2)

(1)で存在が示された等式 $$ x^n = (x-\alpha)(x-\beta)^2 Q(x) + A(x-\alpha)(x-\beta) + B(x-\alpha) + C \quad \cdots ① $$ は $x$ についての恒等式である。

①の両辺に $x=\alpha$ を代入すると、 $$ \alpha^n = C $$ となる。次に、①の両辺に $x=\beta$ を代入すると、 $$ \beta^n = B(\beta-\alpha) + C $$ となる。$C = \alpha^n$ であり、条件より $\alpha \neq \beta$ であるから $\beta-\alpha \neq 0$ となるため、 $$ B = \frac{\beta^n - \alpha^n}{\beta-\alpha} $$ と求まる。

さらに、①の両辺を $x$ で微分すると、 $$ n x^{n-1} = (x-\beta)^2 Q(x) + 2(x-\alpha)(x-\beta) Q(x) + (x-\alpha)(x-\beta)^2 Q'(x) + A(x-\beta) + A(x-\alpha) + B \quad \cdots ② $$ となる。②の両辺に $x=\beta$ を代入すると、 $$ n \beta^{n-1} = A(\beta-\alpha) + B $$ $\beta-\alpha \neq 0$ より、 $$ A = \frac{n \beta^{n-1} - B}{\beta-\alpha} $$ となる。求めた $B$ を代入して整理すると、 $$ \begin{aligned} A &= \frac{1}{\beta-\alpha} \left( n \beta^{n-1} - \frac{\beta^n - \alpha^n}{\beta-\alpha} \right) \\ &= \frac{n \beta^{n-1}(\beta-\alpha) - (\beta^n - \alpha^n)}{(\beta-\alpha)^2} \\ &= \frac{(n-1)\beta^n - n\alpha\beta^{n-1} + \alpha^n}{(\beta-\alpha)^2} \end{aligned} $$ と求まる。

(3)

$\beta \to \alpha$ のとき、(2)で求めた $A$ は $\frac{0}{0}$ の不定形となる。

$\beta - \alpha = h$ とおくと、$\beta \to \alpha$ のとき $h \to 0$ であり、$\beta = \alpha + h$ となるから、これを $A$ の式に代入すると、 $$ A = \frac{(n-1)(\alpha+h)^n - n\alpha(\alpha+h)^{n-1} + \alpha^n}{h^2} $$ となる。ここで二項定理を用いて展開すると、 $$ (\alpha+h)^n = \alpha^n + n\alpha^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2}h^2 + \cdots + h^n $$ $$ (\alpha+h)^{n-1} = \alpha^{n-1} + (n-1)\alpha^{n-2}h + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\alpha^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} $$ となる。これらを $A$ の分子に代入し、$h$ の次数について整理する。

定数項は、 $$ (n-1)\alpha^n - n\alpha \cdot \alpha^{n-1} + \alpha^n = 0 $$ $h$ の1次の項の係数は、 $$ (n-1) \cdot n\alpha^{n-1} - n\alpha \cdot (n-1)\alpha^{n-2} = n(n-1)\alpha^{n-1} - n(n-1)\alpha^{n-1} = 0 $$ $h^2$ の2次の項の係数は、 $$ \begin{aligned} & (n-1) \cdot \frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2} - n\alpha \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{2}\alpha^{n-3} \\ &= \frac{n(n-1)^2}{2}\alpha^{n-2} - \frac{n(n-1)(n-2)}{2}\alpha^{n-2} \\ &= \frac{n(n-1)}{2} \{ (n-1) - (n-2) \} \alpha^{n-2} \\ &= \frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2} \end{aligned} $$ となる。

よって、分子は $\frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2} h^2 + (\text{$h$ の3次以上の項})$ と表せる。 したがって $A$ は、 $$ \begin{aligned} A &= \frac{\frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2} h^2 + (\text{$h$ の3次以上の項})}{h^2} \\ &= \frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2} + (\text{$h$ の1次以上の項}) \end{aligned} $$ となる。ここで $h \to 0$ とすると、第2項以降は $0$ に収束するため、 $$ \lim_{\beta \to \alpha} A = \frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2} $$ と求まる。

解説

(2)において係数を決定する際、$(x-\beta)^2$ を因数に持つ項はそのまま $x=\beta$ を代入すると消えてしまうが、両辺を $x$ で微分してから代入することで、新たな条件式を引き出すことができる。これは重解を持つ方程式の処理や、恒等式の係数決定における典型的な手法である。

(3)では、極限をそのまま計算しようとすると $\frac{0}{0}$ の不定形となってしまう。このような多項式の極限では、$\beta = \alpha + h$ とおいて $h \to 0$ の極限に帰着させ、二項定理を用いて展開して打ち消し合う項を整理する手法が非常に有効である。

答え

(1) 略（実数 $A, B, C$ と整式 $Q(x)$ の存在を示した）

(2) $A = \frac{(n-1)\beta^n - n\alpha\beta^{n-1} + \alpha^n}{(\beta-\alpha)^2}, \quad B = \frac{\beta^n - \alpha^n}{\beta-\alpha}, \quad C = \alpha^n$

(3) $\lim_{\beta \to \alpha} A = \frac{n(n-1)}{2} \alpha^{n-2}$