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名古屋大学 1963年文系第5問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

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$$ x^n - 1 = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b $$

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$$ 0 = a + b $$

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$$ n x^{n-1} = 2(x - 1)Q(x) + (x - 1)^2 Q'(x) + a $$

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$$ n = a $$

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$$ \begin{aligned} x^n - 1 &= (t + 1)^n - 1 \\ &= \left( t^n + {}_n\mathrm{C}_{1} t^{n-1} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-2} t^2 + {}_n\mathrm{C}_{n-1} t + 1 \right) - 1 \\ &= t^n + {}_n\mathrm{C}_{1} t^{n-1} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-2} t^2 + nt \\ &= t^2 \left( t^{n-2} + {}_n\mathrm{C}_{1} t^{n-3} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-2} \right) + nt \end{aligned} $$

縺薙％縺ｧ縲・t = x - 1$ 縺ｫ謌ｻ縺吶→縲・

$$ x^n - 1 = (x - 1)^2 \left\{ (x - 1)^{n-2} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-2} \right\} + n(x - 1) $$

縺薙・蠑上・縲・x^n - 1$ 繧・$(x - 1)^2$ 縺ｧ蜑ｲ縺｣縺溷膚縺・$(x - 1)^{n-2} + \cdots + {}n\mathrm{C}{n-2}$ 縺ｧ縺ゅｊ縲∽ｽ吶ｊ縺・$n(x - 1)$ 縺ｧ縺ゅｋ縺薙→繧堤､ｺ縺励※縺・ｋ縲・螻暮幕縺吶ｋ縺ｨ $nx - n$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺薙・邨先棡縺ｯ縲・n=1$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・菴吶ｊ $x - 1$ 縺ｨ繧ゆｸ閾ｴ縺吶ｋ縲・

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$$ x^n - 1 = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b $$

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$$ x^n - 1 = (x - 1)^2 Q(x) + a(x - 1) $$

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$$ (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1) = (x - 1) \{ (x - 1)Q(x) + a \} $$

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$$ x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1 = (x - 1)Q(x) + a $$

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$$ \begin{aligned} 1^{n-1} + 1^{n-2} + \cdots + 1 + 1 &= (1 - 1)Q(1) + a \\ n &= a \end{aligned} $$

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