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名古屋大学 1966年文系第1問解説

方針・初手

$A, B, C$ が鋭角であることから、$\tan$ は正の値をとり、$\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta}$ が成り立ちます。これを利用して、問題の条件式と証明すべき不等式を $\tan A, \tan B, \tan C$ のみで表します。扱いやすくするために、これらをそれぞれ変数と置き換え、代数的な証明やベクトルの性質（三角不等式）を用いた証明に帰着させます。

解法1

$A, B, C$ は鋭角であるから、$\tan A > 0, \tan B > 0, \tan C > 0$ であり、$\sec A > 0, \sec B > 0, \sec C > 0$ である。したがって、相互関係より $\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta}$ と表すことができる。

ここで、$\tan A = a, \tan B = b, \tan C = c$ とおく。 $a, b, c$ は正の実数であり、条件より

$$ a + b \geqq c $$

が成り立つ。このとき、証明すべき不等式は

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+c^2} $$

である。

$x > 0$ において $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ は単調増加関数である。 $a+b \geqq c > 0$ であるから、

$$ \sqrt{1+(a+b)^2} \geqq \sqrt{1+c^2} $$

が成り立つ。したがって、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+(a+b)^2} $$

が成り立つことを示せばよい。両辺ともに正であるから、両辺の2乗の大小を比較する。

$$ \begin{aligned} & \left(\sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2}\right)^2 - \left(\sqrt{1+(a+b)^2}\right)^2 \\ &= (1+a^2) + 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)} + (1+b^2) - \{1 + (a+b)^2\} \\ &= 2 + a^2 + b^2 + 2\sqrt{1+a^2+b^2+a^2b^2} - (1 + a^2 + 2ab + b^2) \\ &= 1 - 2ab + 2\sqrt{1+a^2+b^2+a^2b^2} \\ &= 1 - 2ab + 2\sqrt{(1+ab)^2 + (a-b)^2} \end{aligned} $$

ここで、$(a-b)^2 \geqq 0$ であるから、

$$ \sqrt{(1+ab)^2 + (a-b)^2} \geqq \sqrt{(1+ab)^2} $$

$a > 0, b > 0$ より $1+ab > 0$ であるため、$\sqrt{(1+ab)^2} = 1+ab$ となる。したがって、

$$ \begin{aligned} 1 - 2ab + 2\sqrt{(1+ab)^2 + (a-b)^2} &\geqq 1 - 2ab + 2(1+ab) \\ &= 3 > 0 \end{aligned} $$

以上より、$\left(\sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2}\right)^2 > \left(\sqrt{1+(a+b)^2}\right)^2$ が成り立つ。両辺ともに正であることから、平方根をとっても大小関係は変わらず、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+(a+b)^2} $$

が示された。これと $\sqrt{1+(a+b)^2} \geqq \sqrt{1+c^2}$ より、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+c^2} $$

すなわち、$\sec A + \sec B > \sec C$ が成り立つ。

解法2

$\tan A = a, \tan B = b, \tan C = c$ とおく。解法1と同様に、条件 $a + b \geqq c > 0$ のもとで、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+c^2} $$

を示す。

座標平面上で、2つのベクトル $\vec{u} = (1, a)$ と $\vec{v} = (1, b)$ を考える。これらの大きさはそれぞれ、

$$ |\vec{u}| = \sqrt{1+a^2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1+b^2} $$

である。また、$\vec{u} + \vec{v} = (2, a+b)$ であり、その大きさは

$$ |\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (a+b)^2} = \sqrt{4+(a+b)^2} $$

となる。ベクトルの三角不等式 $|\vec{u}| + |\vec{v}| \geqq |\vec{u}+\vec{v}|$ より、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} \geqq \sqrt{4+(a+b)^2} $$

が成り立つ。ここで、根号の中身について $4+(a+b)^2 > 1+(a+b)^2$ であるから、

$$ \sqrt{4+(a+b)^2} > \sqrt{1+(a+b)^2} $$

さらに、条件 $a+b \geqq c$ と $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ が $x>0$ で単調増加であることから、

$$ \sqrt{1+(a+b)^2} \geqq \sqrt{1+c^2} $$

以上の不等式をすべてつなぎ合わせると、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} \geqq \sqrt{4+(a+b)^2} > \sqrt{1+(a+b)^2} \geqq \sqrt{1+c^2} $$

となり、

$$ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{1+b^2} > \sqrt{1+c^2} $$

が示された。ゆえに、$\sec A + \sec B > \sec C$ が成り立つ。

解説

三角関数の相互関係 $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ を用いて、$\tan$ だけで式を構成することが第一歩です。解法1のように式を2乗して大小を比較する基本的な代数的手法で確実に解くことができますが、解法2のように $\sqrt{x^2+y^2}$ の形をベクトルの長さ（または2点間の距離）と解釈することで、三角不等式を用いた極めて簡潔な証明が可能になります。