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九州大学 1968年文系第4問解説

方針・初手

不等式 $A \leqq B$ の証明であるから、$B - A \geqq 0$ を示すのが基本方針である。左辺には角 $4\theta$ と $2\theta$ の三角関数の積があり、右辺には角 $3\theta$ の三角関数の2乗がある。解法としては、積和の公式と半角の公式を用いてすべての項を角 $6\theta$ と $2\theta$ の一次式に統一して比較する方法と、$4\theta = 3\theta + \theta$、$2\theta = 3\theta - \theta$ とみて加法定理を用いる方法が考えられる。

解法1

(1)

右辺と左辺の差をとる。

$$\sin^2 3\theta - \sin 4\theta \sin 2\theta$$

半角の公式により、$\sin^2 3\theta = \frac{1 - \cos 6\theta}{2}$ である。また、積和の公式により、$\sin 4\theta \sin 2\theta = -\frac{1}{2}(\cos 6\theta - \cos 2\theta)$ である。これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} \sin^2 3\theta - \sin 4\theta \sin 2\theta &= \frac{1 - \cos 6\theta}{2} - \left\{ -\frac{1}{2}(\cos 6\theta - \cos 2\theta) \right\} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 6\theta + \frac{1}{2}\cos 6\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta) \end{aligned}$$

$\theta$ は実数であるから、$-1 \leqq \cos 2\theta \leqq 1$ であり、$1 - \cos 2\theta \geqq 0$ が成り立つ。したがって、次が成り立つ。

$$\sin^2 3\theta - \sin 4\theta \sin 2\theta \geqq 0$$

ゆえに、$\sin 4\theta \sin 2\theta \leqq \sin^2 3\theta$ が示された。なお、等号成立は $\cos 2\theta = 1$、すなわち $\theta = n\pi$ ($n$ は整数) のときである。

(2)

同様に、右辺と左辺の差をとる。

$$\cos^2 3\theta - \cos 4\theta \cos 2\theta$$

半角の公式により、$\cos^2 3\theta = \frac{1 + \cos 6\theta}{2}$ である。また、積和の公式により、$\cos 4\theta \cos 2\theta = \frac{1}{2}(\cos 6\theta + \cos 2\theta)$ である。これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} \cos^2 3\theta - \cos 4\theta \cos 2\theta &= \frac{1 + \cos 6\theta}{2} - \frac{1}{2}(\cos 6\theta + \cos 2\theta) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 6\theta - \frac{1}{2}\cos 6\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\theta \\ &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta) \end{aligned}$$

$\theta$ は実数であるから、(1) と同様に $1 - \cos 2\theta \geqq 0$ が成り立つ。したがって、次が成り立つ。

$$\cos^2 3\theta - \cos 4\theta \cos 2\theta \geqq 0$$

ゆえに、$\cos 4\theta \cos 2\theta \leqq \cos^2 3\theta$ が示された。等号成立も (1) と同じく $\theta = n\pi$ ($n$ は整数) のときである。

解法2

加法定理を利用して左辺を変形する。

(1)

$4\theta = 3\theta + \theta$、$2\theta = 3\theta - \theta$ とみて、左辺を展開する。

$$\begin{aligned} \sin 4\theta \sin 2\theta &= \sin(3\theta + \theta) \sin(3\theta - \theta) \\ &= (\sin 3\theta \cos \theta + \cos 3\theta \sin \theta)(\sin 3\theta \cos \theta - \cos 3\theta \sin \theta) \\ &= \sin^2 3\theta \cos^2 \theta - \cos^2 3\theta \sin^2 \theta \end{aligned}$$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$、$\cos^2 3\theta = 1 - \sin^2 3\theta$ を代入してさらに変形する。

$$\begin{aligned} \sin^2 3\theta \cos^2 \theta - \cos^2 3\theta \sin^2 \theta &= \sin^2 3\theta (1 - \sin^2 \theta) - (1 - \sin^2 3\theta) \sin^2 \theta \\ &= \sin^2 3\theta - \sin^2 3\theta \sin^2 \theta - \sin^2 \theta + \sin^2 3\theta \sin^2 \theta \\ &= \sin^2 3\theta - \sin^2 \theta \end{aligned}$$

ここで、$\theta$ は実数であるから $\sin^2 \theta \geqq 0$ である。したがって、次が成り立つ。

$$\sin^2 3\theta - \sin^2 \theta \leqq \sin^2 3\theta$$

ゆえに、$\sin 4\theta \sin 2\theta \leqq \sin^2 3\theta$ が示された。等号成立は $\sin \theta = 0$、すなわち $\theta = n\pi$ ($n$ は整数) のときである。

(2)

(1) と同様に、$4\theta = 3\theta + \theta$、$2\theta = 3\theta - \theta$ とみて、左辺を展開する。

$$\begin{aligned} \cos 4\theta \cos 2\theta &= \cos(3\theta + \theta) \cos(3\theta - \theta) \\ &= (\cos 3\theta \cos \theta - \sin 3\theta \sin \theta)(\cos 3\theta \cos \theta + \sin 3\theta \sin \theta) \\ &= \cos^2 3\theta \cos^2 \theta - \sin^2 3\theta \sin^2 \theta \end{aligned}$$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を代入して $\sin^2 \theta$ についてまとめる。

$$\begin{aligned} \cos^2 3\theta \cos^2 \theta - \sin^2 3\theta \sin^2 \theta &= \cos^2 3\theta (1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 3\theta \sin^2 \theta \\ &= \cos^2 3\theta - \cos^2 3\theta \sin^2 \theta - \sin^2 3\theta \sin^2 \theta \\ &= \cos^2 3\theta - (\cos^2 3\theta + \sin^2 3\theta) \sin^2 \theta \end{aligned}$$

$\cos^2 3\theta + \sin^2 3\theta = 1$ であるから、次のように整理できる。

$$\cos^2 3\theta - \sin^2 \theta$$

ここで、$\theta$ は実数であるから $\sin^2 \theta \geqq 0$ である。したがって、次が成り立つ。

$$\cos^2 3\theta - \sin^2 \theta \leqq \cos^2 3\theta$$

ゆえに、$\cos 4\theta \cos 2\theta \leqq \cos^2 3\theta$ が示された。等号成立は $\sin \theta = 0$、すなわち $\theta = n\pi$ ($n$ は整数) のときである。

解説

三角関数の積と累乗を含む不等式の証明問題である。解法1のように、積和の公式や半角・倍角の公式を用いて「次数を下げて角をそろえる」という方針は、三角関数の計算において極めて汎用性の高い標準的な手筋である。確実に使いこなせるようにしておきたい。一方、解法2のように平均の角である $3\theta$ に着目し、$4\theta = 3\theta + \theta$、$2\theta = 3\theta - \theta$ と分解して加法定理（いわゆる和と差の積の形）を利用すると、より簡潔に証明を完了させることができる。このような「角の和・差の対称性」を見抜く力も養っておくとよい。