名古屋大学 1966年 文系 第4問 解説

方針・初手

半円の中心を原点にとり、座標平面上で考えるか、角度を変数として面積の式を立てるのが定石である。台形 $ABQP$ において底辺 $AB$ は半円の直径であるから、上底 $PQ$ は $AB$ に平行である。円の中心から $PQ$ を見込む角、または上底の高さを変数とおき、微分を用いて最大値を求める。

解法1

半円の中心を $O$ とし、線分 $AB$ の中点である $O$ を原点とする座標平面を考える。

半円の半径は $r$ であるから、$A(-r, 0)$、$B(r, 0)$ とおくことができる。

半円周は $x^2 + y^2 = r^2 \ (y \ge 0)$ と表される。

台形 $ABQP$ において、$AB$ と $PQ$ は平行であるため、点 $P$ と点 $Q$ の $y$ 座標は等しい。

また、図における頂点の順序から、$P$ は第2象限、$Q$ は第1象限にあると考えて一般性を失わない。

そこで、$\angle QOB = \theta \ (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ とおく。

このとき、点 $Q$ の座標は $(r\cos\theta, r\sin\theta)$、点 $P$ の座標は $(-r\cos\theta, r\sin\theta)$ となる。

台形 $ABQP$ の上底 $PQ$ の長さ、下底 $AB$ の長さ、および高さ $h$ はそれぞれ以下のようになる。

$$ PQ = 2r\cos\theta $$

$$ AB = 2r $$

$$ h = r\sin\theta $$

台形の面積を $S(\theta)$ とすると、

$$ S(\theta) = \frac{1}{2} (AB + PQ) h = \frac{1}{2} (2r + 2r\cos\theta) \cdot r\sin\theta = r^2 (1 + \cos\theta) \sin\theta $$

$f(\theta) = (1 + \cos\theta) \sin\theta$ とおき、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で増減を調べる。

$$ f(\theta) = \sin\theta + \sin\theta \cos\theta = \sin\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta $$

$\theta$ で微分すると、

$$ f'(\theta) = \cos\theta + \cos 2\theta $$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いると、

$$ f'(\theta) = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\cos\theta + 1 > 0$ であるから、$f'(\theta) = 0$ となるのは $\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{\pi}{3}$ のときである。

増減表は以下のようになる。

$\theta$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$(\frac{\pi}{2})$
$f'(\theta)$		$+$	$0$	$-$
$f(\theta)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(\theta)$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき最大値をとる。

最大値は、

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

したがって、求める面積の最大値は以下のようになる。

$$ S\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2 $$

解法2

台形の高さ $y$ を変数として面積の式を立てる。

半円の中心を原点 $O(0,0)$ とし、$A(-r, 0)$、$B(r, 0)$ とおく。

台形 $ABQP$ の高さ、すなわち点 $P, Q$ の $y$ 座標を $y \ (0 < y < r)$ とおく。

半円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ であるため、点 $Q$ の $x$ 座標は $x = \sqrt{r^2 - y^2}$ となる。

上底の長さは $PQ = 2\sqrt{r^2 - y^2}$ であり、下底の長さは $AB = 2r$ であるから、台形の面積 $S(y)$ は以下のように表される。

$$ S(y) = \frac{1}{2} \left( 2r + 2\sqrt{r^2 - y^2} \right) y = y \left( r + \sqrt{r^2 - y^2} \right) $$

$y$ について微分すると、

$$ S'(y) = 1 \cdot \left( r + \sqrt{r^2 - y^2} \right) + y \cdot \frac{-2y}{2\sqrt{r^2 - y^2}} = r + \sqrt{r^2 - y^2} - \frac{y^2}{\sqrt{r^2 - y^2}} $$

通分して整理する。

$$ S'(y) = \frac{r\sqrt{r^2 - y^2} + (r^2 - y^2) - y^2}{\sqrt{r^2 - y^2}} = \frac{r\sqrt{r^2 - y^2} + r^2 - 2y^2}{\sqrt{r^2 - y^2}} $$

$S'(y) = 0$ となる条件は、分子が $0$ になることであるから、

$$ r\sqrt{r^2 - y^2} = 2y^2 - r^2 $$

この方程式を解く。

右辺は正または負の可能性があるため、両辺を2乗して得られた解が元の式を満たすか確認する必要がある。

両辺を2乗すると、

$$ r^2 (r^2 - y^2) = (2y^2 - r^2)^2 $$

展開して整理する。

$$ r^4 - r^2 y^2 = 4y^4 - 4r^2 y^2 + r^4 $$

$$ 4y^4 - 3r^2 y^2 = 0 $$

$$ y^2 (4y^2 - 3r^2) = 0 $$

$0 < y < r$ であるから、$y = \frac{\sqrt{3}}{2}r$ を得る。

このとき、元の式の右辺は $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)^2 - r^2 = \frac{3}{2}r^2 - r^2 = \frac{1}{2}r^2 > 0$ であり、方程式を満たす。

増減表は省略するが、前後の符号変化から $y = \frac{\sqrt{3}}{2}r$ で最大値をとる。

このとき、$r^2 - y^2 = r^2 - \frac{3}{4}r^2 = \frac{1}{4}r^2$ であるから、最大値は以下のようになる。

$$ S\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}r \left( r + \frac{1}{2}r \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}r \cdot \frac{3}{2}r = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 $$

解説

図形を座標平面に設定し、変数を用いて面積を関数として表す典型的な最大値・最小値問題である。

解法1のように角度を変数とするアプローチは、式が三角関数のみで構成されるため微分の見通しが良く、計算ミスが起こりにくい。

解法2のように線分の長さを変数とした場合、無理関数を含む微分の計算が必要となり、導関数の符号変化を調べる際に無理方程式を解く手間がかかる。

そのため、円が関係する図形の計量では極座標表示（角度によるパラメータ化）が計算上有利になることが多い。

答え

$$ \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 $$