名古屋大学 1983年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた漸化式が積の形になっているため、両辺の対数をとることで和の形（線形）の隣接2項間漸化式に帰着させるのが基本方針となる。数列のすべての項が正であることを確認した上で対数をとる。また、対数をとらずに指数法則を利用して等比数列の形を作ることも可能である。

解法1

$a > 0$ であり、$a_1 = 1 > 0$ である。 また、$p, q$ は正の整数であるから、漸化式 $a_n^p a_{n-1}^q = a$ より帰納的にすべての $n$ に対して $a_n > 0$ である。 したがって、漸化式の両辺の自然対数をとることができる。

$$ \log \left( a_n^p a_{n-1}^q \right) = \log a $$

対数の性質より、

$$ p \log a_n + q \log a_{n-1} = \log a $$

式を整理して、

$$ \log a_n = -\frac{q}{p} \log a_{n-1} + \frac{1}{p} \log a $$

ここで、特性方程式 $\alpha = -\frac{q}{p} \alpha + \frac{1}{p} \log a$ を解く。

$$ \left( 1 + \frac{q}{p} \right) \alpha = \frac{1}{p} \log a $$

$$ \frac{p+q}{p} \alpha = \frac{1}{p} \log a $$

$$ \alpha = \frac{\log a}{p+q} $$

これを用いると、漸化式は次のように変形できる。

$$ \log a_n - \frac{\log a}{p+q} = -\frac{q}{p} \left( \log a_{n-1} - \frac{\log a}{p+q} \right) $$

よって、数列 $\left\{ \log a_n - \frac{\log a}{p+q} \right\}$ は、初項が $\log a_1 - \frac{\log a}{p+q}$、公比が $-\frac{q}{p}$ の等比数列である。 $a_1 = 1$ より $\log a_1 = 0$ であるから、初項は $-\frac{\log a}{p+q}$ となる。 したがって、この数列の一般項は

$$ \log a_n - \frac{\log a}{p+q} = -\frac{\log a}{p+q} \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} $$

これを $\log a_n$ について整理すると、

$$ \log a_n = \frac{\log a}{p+q} - \frac{\log a}{p+q} \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} $$

$$ \log a_n = \frac{\log a}{p+q} \left\{ 1 - \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} \right\} $$

対数の定義（または底を $e$ として指数を比較）より、

$$ a_n = \exp \left[ \frac{\log a}{p+q} \left\{ 1 - \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} \right\} \right] = a^{\frac{1}{p+q} \left\{ 1 - \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} \right\}} $$

これは $n=1$ のとき、 $a_1 = a^0 = 1$ となり条件を満たす。

解法2

漸化式 $a_n^p a_{n-1}^q = a$ を $a_n$ について解く。$a_n > 0$ であるから、両辺を $p$ 乗根して、

$$ a_n = a^{\frac{1}{p}} a_{n-1}^{-\frac{q}{p}} $$

ここで、$a_n a^\alpha = \left( a_{n-1} a^\alpha \right)^{-\frac{q}{p}}$ という形に変形できるような定数 $\alpha$ を探す。 右辺を展開すると、

$$ a_n a^\alpha = a_{n-1}^{-\frac{q}{p}} a^{-\frac{q}{p} \alpha} $$

$$ a_n = a_{n-1}^{-\frac{q}{p}} a^{-\alpha \left( 1 + \frac{q}{p} \right)} $$

これが $a_n = a_{n-1}^{-\frac{q}{p}} a^{\frac{1}{p}}$ と一致すればよいので、指数の部分を比較して、

$$ -\alpha \left( \frac{p+q}{p} \right) = \frac{1}{p} $$

$$ \alpha = -\frac{1}{p+q} $$

となる。したがって、与えられた漸化式は次のように変形できる。

$$ a_n a^{-\frac{1}{p+q}} = \left( a_{n-1} a^{-\frac{1}{p+q}} \right)^{-\frac{q}{p}} $$

この式から、数列の項を順次下げていくと、

$$ a_n a^{-\frac{1}{p+q}} = \left( a_{n-1} a^{-\frac{1}{p+q}} \right)^{-\frac{q}{p}} = \left( a_{n-2} a^{-\frac{1}{p+q}} \right)^{\left( -\frac{q}{p} \right)^2} = \cdots = \left( a_1 a^{-\frac{1}{p+q}} \right)^{\left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1}} $$

$a_1 = 1$ であるから、$a_1 a^{-\frac{1}{p+q}} = a^{-\frac{1}{p+q}}$ となる。これを代入して、

$$ a_n a^{-\frac{1}{p+q}} = \left( a^{-\frac{1}{p+q}} \right)^{\left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1}} $$

両辺に $a^{\frac{1}{p+q}}$ を掛けると、

$$ a_n = a^{\frac{1}{p+q}} \cdot a^{-\frac{1}{p+q} \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1}} $$

指数法則よりまとめることができ、

$$ a_n = a^{\frac{1}{p+q} - \frac{1}{p+q} \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1}} = a^{\frac{1}{p+q} \left\{ 1 - \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} \right\}} $$

解説

積や累乗を含む漸化式では、「両辺の対数をとることで線形な漸化式に帰着させる」という手法が定石かつ極めて有効である。その際、真数条件を満たすために対数をとる前に $a_n > 0$ であることを明記することが、論理の飛躍を防ぐために重要となる。 解法2のように指数法則のみを用いて式変形することも可能であり、発想としては対数をとる操作と全く同値である。

答え

$$ a_n = a^{\frac{1}{p+q} \left\{ 1 - \left( -\frac{q}{p} \right)^{n-1} \right\}} $$