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名古屋大学 1991年理系第3問解説

方針・初手

漸化式に定積分が含まれているタイプの問題である。積分変数は $y$ であり、$x$ は積分定数とみなせるため、積分記号の外にくくり出すことができる。積分区間が定数から定数なので、残った定積分部分は定数となる。この定数を数列としておき、その漸化式を作成して一般項を求めるのが定石である。

解法1

(1)

与えられた漸化式より、

$$ f_2(x) = x + \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-x+y} f_1(y) dy $$

$f_1(y) = y$ であり、$e^{-x}$ は $y$ についての積分においては定数として扱えるため、

$$ f_2(x) = x + \frac{1}{2} e^{-x} \int_0^1 y e^y dy $$

ここで、定積分 $\int_0^1 y e^y dy$ を部分積分法により計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 y e^y dy &= \left[ y e^y \right]_0^1 - \int_0^1 e^y dy \\ &= e - \left[ e^y \right]_0^1 \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ f_2(x) = x + \frac{1}{2} e^{-x} $$

(2)

与えられた漸化式を変形すると、

$$ f_n(x) = x + \frac{1}{2} e^{-x} \int_0^1 e^y f_{n-1}(y) dy \quad (n = 2, 3, \dots) $$

となる。右辺の定積分は $x$ に依存しない定数であるから、これを $C_n$ とおく。

$$ C_n = \int_0^1 e^y f_{n-1}(y) dy \quad (n = 2, 3, \dots) $$

これを用いると、$f_n(x)$ は次のように表される。

$$ f_n(x) = x + \frac{1}{2} C_n e^{-x} \quad (n = 2, 3, \dots) $$

この式を用いて定積分 $C_{n+1}$ の漸化式を導出する。

$$ C_{n+1} = \int_0^1 e^y f_n(y) dy \quad (n = 2, 3, \dots) $$

これに $f_n(y) = y + \frac{1}{2} C_n e^{-y}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} C_{n+1} &= \int_0^1 e^y \left( y + \frac{1}{2} C_n e^{-y} \right) dy \\ &= \int_0^1 \left( y e^y + \frac{1}{2} C_n \right) dy \\ &= \int_0^1 y e^y dy + \frac{1}{2} C_n \int_0^1 1 dy \end{aligned} $$

(1) の計算過程より $\int_0^1 y e^y dy = 1$ であり、また $\int_0^1 1 dy = 1$ であるから、

$$ C_{n+1} = 1 + \frac{1}{2} C_n \quad (n = 2, 3, \dots) $$

この漸化式を変形すると、

$$ C_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (C_n - 2) $$

となる。したがって、数列 $\{C_n - 2\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。初項を求めるために $C_2$ を計算する。

$$ C_2 = \int_0^1 e^y f_1(y) dy = \int_0^1 y e^y dy = 1 $$

よって、$n \geqq 2$ のとき、$C_n$ の一般項は次のように求められる。

$$ C_n - 2 = (C_2 - 2) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} = (1 - 2) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} = - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} $$

$$ C_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} $$

これを $f_n(x)$ の式に代入して、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &= x + \frac{1}{2} \left\{ 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \right\} e^{-x} \\ &= x + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} e^{-x} \end{aligned} $$

この結果は、$n = 1$ のとき $x + \left( 1 - 1 \right) e^{-x} = x$ となり $f_1(x) = x$ を満たすので、$n = 1$ の場合についても成り立つ。

よって、すべての自然数 $n$ について、

$$ f_n(x) = x + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} e^{-x} $$

(3)

(2) で求めた結果を利用して極限を計算する。

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \left[ x + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} e^{-x} \right] $$

$n \to \infty$ のとき、$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = x + e^{-x} $$

解説

関数列の漸化式に定積分が含まれるタイプの問題である。被積分関数の中に含まれる $x$ と $y$ のうち、$x$ は積分計算において定数扱いできることに着目して積分の外に出し、定積分部分を数列 $C_n$ とおいて漸化式に帰着させるのがポイントである。(1)で部分積分を用いた具体的な計算をさせ、(2)でその結果を利用して一般項を求めるという誘導に乗れば、標準的な方針で解き進めることができる。一般項を求めた後に $n=1$ の場合にも式が成立するかを確認する手順を忘れないようにしたい。