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名古屋大学 1998年文系第3問解説

注意

画像が途中で切れており、問題文で言及されている $S_3$ の定義が含まれていません。以下は、画像から読み取れる (1) $S_1$ と (2) $S_2$ のみを対象とした解答解説です。

方針・初手

(1) は等比数列の和です。公比 $z$ が $1$ であるかどうかによって場合分けを行います。問題の条件 $z^N = 1$ を活用します。

(2) は (1) の複素数の和の実部に着目します。ド・モアブルの定理により、$z^k = \cos k\theta + i\sin k\theta$ となることを利用して、$S_1$ と $S_2$ の関係を見出します。

解法1

(1)

$S_1 = 1 + z + z^2 + \cdots + z^{N-1}$ は、初項 $1$、公比 $z$、項数 $N$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式を用いるため、公比 $z$ が $1$ かどうかで場合分けをする。

$z = \cos\theta + i\sin\theta$ であるから、$z=1$ となるのは $\theta = 2k\pi$（$k$ は整数）のときである。

(i) $z = 1$（すなわち $\theta = 2k\pi$、$k$ は整数）のとき

各項はすべて $1$ になるので、

$$ S_1 = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{N\text{個}} = N $$

となる。

(ii) $z \neq 1$（すなわち $\theta \neq 2k\pi$、$k$ は整数）のとき

等比数列の和の公式より、

$$ S_1 = \frac{1 - z^N}{1 - z} $$

となる。

ここで、問題の条件より $z^N = 1$ であるから、

$$ S_1 = \frac{1 - 1}{1 - z} = 0 $$

となる。

以上より、$z = 1$ のとき $S_1 = N$、$z \neq 1$ のとき $S_1 = 0$ である。

(2)

ド・モアブルの定理により、$k$ を整数として、

$$ z^k = (\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos k\theta + i\sin k\theta $$

が成り立つ。

(1) の $S_1$ を実部と虚部に分けて書くと、

$$ \begin{aligned} S_1 &= 1 + z + z^2 + \cdots + z^{N-1} \\ &= 1 + (\cos\theta + i\sin\theta) + (\cos 2\theta + i\sin 2\theta) + \cdots + \{\cos(N-1)\theta + i\sin(N-1)\theta\} \\ &= \{1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \cdots + \cos(N-1)\theta\} + i\{\sin\theta + \sin 2\theta + \cdots + \sin(N-1)\theta\} \end{aligned} $$

となる。

ここで、実部を比較すると、

$$ \operatorname{Re}(S_1) = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \cdots + \cos(N-1)\theta = S_2 $$

であることがわかる。

したがって、$S_2$ は $S_1$ の実部である。

(1) の結果を利用して場合分けをする。

(i) $z = 1$（すなわち $\theta = 2k\pi$、$k$ は整数）のとき

$S_1 = N$ であるから、その実部は $N$ である。

よって、

$$ S_2 = N $$

(ii) $z \neq 1$（すなわち $\theta \neq 2k\pi$、$k$ は整数）のとき

$S_1 = 0$ であるから、その実部は $0$ である。