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名古屋大学 1998年文系第4問解説

方針・初手

(1) は与えられた行列の等式から $A_2$ を直接計算する。$a \neq -\frac{1}{2}$ という条件から $E+2A_1$ が逆行列を持つことを利用する。 (2) は行列の漸化式を解く問題である。漸化式 $A_{n+1}(E + 2A_n) = -A_n$ を展開して因数分解の形に持ち込むか、成分ごとに漸化式を立てて解くという2つの有力なアプローチがある。

解法1

(1)

与えられた等式は以下の通りである。

$$ A_2(E + 2A_1) = -A_1 $$

$E + 2A_1$ を成分で計算すると、

$$ E + 2A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 2b & 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+1 & 0 \\ 2b & 2a+1 \end{pmatrix} $$

行列式の値は $\Delta = (2a+1)^2$ である。問題の条件より $a \neq -\frac{1}{2}$ であるから、$2a+1 \neq 0$ となり、$\Delta \neq 0$ である。したがって、$E + 2A_1$ は逆行列を持つ。

$$ (E + 2A_1)^{-1} = \frac{1}{(2a+1)^2} \begin{pmatrix} 2a+1 & 0 \\ -2b & 2a+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2a+1} & 0 \\ -\frac{2b}{(2a+1)^2} & \frac{1}{2a+1} \end{pmatrix} $$

等式の両辺に右から $(E + 2A_1)^{-1}$ を掛けると、

$$ A_2 = -A_1(E + 2A_1)^{-1} $$

これを計算する。

$$ A_2 = -\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2a+1} & 0 \\ -\frac{2b}{(2a+1)^2} & \frac{1}{2a+1} \end{pmatrix} $$

$$ = -\begin{pmatrix} \frac{a}{2a+1} & 0 \\ \frac{b}{2a+1} - \frac{2ab}{(2a+1)^2} & \frac{a}{2a+1} \end{pmatrix} $$

ここで、$2,1$ 成分を整理する。

$$ \frac{b(2a+1) - 2ab}{(2a+1)^2} = \frac{2ab + b - 2ab}{(2a+1)^2} = \frac{b}{(2a+1)^2} $$

したがって、求める行列 $A_2$ は以下のようになる。

$$ A_2 = \begin{pmatrix} -\frac{a}{2a+1} & 0 \\ -\frac{b}{(2a+1)^2} & -\frac{a}{2a+1} \end{pmatrix} $$

(2)

与えられた行列の漸化式を以下のように変形する。

$$ A_{n+1}(E + 2A_n) = -A_n $$

$$ A_{n+1} + 2A_{n+1}A_n = -A_n $$

$$ 2A_{n+1}A_n + A_{n+1} + A_n = O $$

両辺を $2$ 倍すると、

$$ 4A_{n+1}A_n + 2A_{n+1} + 2A_n = O $$

両辺に $E$ を加えると、左辺は因数分解できる。

$$ 4A_{n+1}A_n + 2A_{n+1} + 2A_n + E = E $$

$$ (2A_{n+1} + E)(2A_n + E) = E $$

ここで、$B_n = 2A_n + E$ とおく。

$$ B_{n+1}B_n = E $$

この関係式から、$B_{n+1}$ は $B_n$ の逆行列であることが分かる。すなわち $B_{n+1} = B_n^{-1}$ である。これより、以下の関係が成り立つ。

$$ B_2 = B_1^{-1} $$

$$ B_3 = B_2^{-1} = (B_1^{-1})^{-1} = B_1 $$

帰納的に、自然数 $n$ に対して以下が成り立つことが分かる。

$n$ が奇数のとき、$B_n = B_1$
$n$ が偶数のとき、$B_n = B_1^{-1}$

$B_1$ は (1) の計算で求めた $E + 2A_1$ に等しい。

$$ B_1 = \begin{pmatrix} 2a+1 & 0 \\ 2b & 2a+1 \end{pmatrix} $$

$$ B_1^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2a+1} & 0 \\ -\frac{2b}{(2a+1)^2} & \frac{1}{2a+1} \end{pmatrix} $$

$B_n = 2A_n + E$ より $A_n = \frac{1}{2}(B_n - E)$ であるから、各場合について $A_n$ を求める。

(i) $n$ が奇数のとき

$$ A_n = \frac{1}{2}(B_1 - E) = A_1 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix} $$

(ii) $n$ が偶数のとき

$$ A_n = \frac{1}{2}(B_1^{-1} - E) $$

$$ = \frac{1}{2} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{1}{2a+1} & 0 \\ -\frac{2b}{(2a+1)^2} & \frac{1}{2a+1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{-2a}{2a+1} & 0 \\ -\frac{2b}{(2a+1)^2} & \frac{-2a}{2a+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a}{2a+1} & 0 \\ -\frac{b}{(2a+1)^2} & -\frac{a}{2a+1} \end{pmatrix} $$

解法2

成分ごとに漸化式を立てて解く方法を示す。(1) は解法1と同様とする。

(2)

一般に、$A_n = \begin{pmatrix} a_n & 0 \\ b_n & a_n \end{pmatrix}$ の形で表されると推測し、数学的帰納法でこれを示すとともに、$a_n, b_n$ の一般項を求める。

$n=1$ のとき、条件より $a_1 = a, b_1 = b$ として形が保たれている。また、$1+2a_1 = 1+2a \neq 0$ である。

$n=k$ のとき、$A_k = \begin{pmatrix} a_k & 0 \\ b_k & a_k \end{pmatrix}$ と表され、かつ $1+2a_k \neq 0$ であると仮定する。このとき、$E + 2A_k = \begin{pmatrix} 1+2a_k & 0 \\ 2b_k & 1+2a_k \end{pmatrix}$ は逆行列を持つ。漸化式 $A_{k+1}(E + 2A_k) = -A_k$ より、

$$ A_{k+1} = -A_k(E + 2A_k)^{-1} $$

解法1の (1) での計算と同様にして、

$$ A_{k+1} = -\begin{pmatrix} a_k & 0 \\ b_k & a_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2a_k+1} & 0 \\ -\frac{2b_k}{(2a_k+1)^2} & \frac{1}{2a_k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a_k}{2a_k+1} & 0 \\ -\frac{b_k}{(2a_k+1)^2} & -\frac{a_k}{2a_k+1} \end{pmatrix} $$

よって、$n=k+1$ のときも同じ形で表され、以下の漸化式が成り立つ。

$$ a_{k+1} = -\frac{a_k}{2a_k+1} $$

$$ b_{k+1} = -\frac{b_k}{(2a_k+1)^2} $$

また、このとき

$$ 1+2a_{k+1} = 1 - \frac{2a_k}{2a_k+1} = \frac{1}{2a_k+1} $$

仮定より $2a_k+1 \neq 0$ であるから、$1+2a_{k+1} \neq 0$ も成り立つ。したがって、すべての自然数 $n$ について $A_n$ はこの形で表される。

数列 $\{1+2a_n\}$ について考えると、

$$ 1+2a_{n+1} = \frac{1}{1+2a_n} $$

これより、数列の各項は $(1+2a_n)(1+2a_{n+1}) = 1$ を満たす。 $1+2a_1 = 1+2a$ であるから、

$n$ が奇数のとき、$1+2a_n = 1+2a$
$n$ が偶数のとき、$1+2a_n = \frac{1}{1+2a}$

これを $a_n$ について解く。

$n$ が奇数のとき、$a_n = a$
$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+2a} - 1\right) = -\frac{a}{2a+1}$

次に、$b_n$ についての漸化式は $b_{n+1} = -\frac{b_n}{(1+2a_n)^2}$ である。

$n$ が奇数のとき、$1+2a_n = 1+2a$ より $b_{n+1} = -\frac{b_n}{(2a+1)^2}$
$n$ が偶数のとき、$1+2a_n = \frac{1}{1+2a}$ より $b_{n+1} = -b_n (2a+1)^2$

これを順に適用すると、 $b_1 = b$ $b_2 = -\frac{b_1}{(2a+1)^2} = -\frac{b}{(2a+1)^2}$ $b_3 = -b_2 (2a+1)^2 = b$ となり、以下 $b$ と $-\frac{b}{(2a+1)^2}$ を交互に繰り返す。

$n$ が奇数のとき、$b_n = b$
$n$ が偶数のとき、$b_n = -\frac{b}{(2a+1)^2}$

以上の $a_n, b_n$ の結果を $A_n = \begin{pmatrix} a_n & 0 \\ b_n & a_n \end{pmatrix}$ に代入すれば、解法1と同じ結果を得る。

解説

行列の漸化式の典型問題である。漸化式 $A_{n+1}P + A_n = O$ や今回のような非線形な漸化式 $A_{n+1}A_n$ を含むものは、行列の方程式として因数分解を行う手法が非常に強力である（解法1）。 $(X+E)(Y+E) = E$ の形を作ることができれば、一方が他方の逆行列になるという性質を利用でき、交互に同じ行列が現れるという周期性を見抜きやすくなる。

一方、与えられた行列が三角行列（下三角行列）であるため、積を計算しても成分の形が保たれることを利用し、成分ごとの漸化式に帰着させる手法（解法2）も自然で手堅い。特に $A_n$ の形が予想しやすい場合は、この方法で安全に解くことができる。