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名古屋大学 2006年文系第3問解説

方針・初手

状態の遷移に着目し、底面が「1 または 6」である状態と、それ以外の「2, 3, 4, 5」である状態の2つのグループに分けて考える。

問題文の条件より、新しい底面となる確率は、その面に書かれた数字に比例する。底面が $X$ のとき、隣り合う4つの面の数字の和は、常に $(1+2+3+4+5+6) - (X + (7-X)) = 14$ となる。したがって、隣り合う面のうち数字が $k$ である面が選ばれる確率は $\frac{k}{14}$ であり、これは現在の底面 $X$ に依存しない一定の値となることがポイントである。

解法1

(1)

底面が $X$ であるとき、隣り合う4つの面は、すべての面から底面 $X$ と上面 $7-X$ を除いたものである。これら4つの面の数字の和は、常に $$\sum_{k=1}^6 k - \{X + (7-X)\} = 21 - 7 = 14$$ である。したがって、底面が $X$ のとき、隣り合う面のうち数字が $k$ である面が新しい底面となる確率は $\frac{k}{14}$ となる。

$q_n$ は、$n$ 回目の試行後に底面が 1 または 6 である確率である。初期状態では底面は 1 であるから、1回目の試行では 1 と隣り合う 2, 3, 4, 5 のいずれかが新しい底面となる。よって、1回目の試行後に底面が 1 または 6 となる確率は 0 であるから、 $$q_1 = 0$$

底面が 2, 3, 4, 5 のいずれかであるとき、隣り合う4つの面には必ず 1 と 6 が含まれる。したがって、次の試行で底面が 1 または 6 になる確率は、現在の底面が 2, 3, 4, 5 のいずれであっても $$\frac{1}{14} + \frac{6}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$ である。 1回目の試行後、底面は確実に 2, 3, 4, 5 のいずれかである。2回目の試行で底面が 1 または 6 になる確率は、 $$q_2 = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

(2)

$n \ge 2$ のとき、$n$ 回目の試行において底面が 1 または 6 になる確率 $q_n$ を、$n-1$ 回目の試行後の状態から求める。 $n-1$ 回目の試行後の状態は、次の2つの場合に分けられる。

(i) 底面が 1 または 6 である場合（確率 $q_{n-1}$）隣り合う面に 1, 6 は含まれないため、$n$ 回目の試行で底面が 1 または 6 になる確率は 0 である。

(ii) 底面が 2, 3, 4, 5 のいずれかである場合（確率 $1 - q_{n-1}$） (1) で求めた通り、$n$ 回目の試行で底面が 1 または 6 になる確率は $\frac{1}{2}$ である。

これらより、次の漸化式が成り立つ。 $$q_n = q_{n-1} \times 0 + (1 - q_{n-1}) \times \frac{1}{2}$$ $$q_n = - \frac{1}{2} q_{n-1} + \frac{1}{2}$$

この式を変形すると、 $$q_n - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} \left( q_{n-1} - \frac{1}{3} \right)$$ 数列 $\left\{ q_n - \frac{1}{3} \right\}$ は、初項 $q_1 - \frac{1}{3} = 0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$、公比 $- \frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、 $$q_n - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$ $$q_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$

(3)

$n$ 回目の試行で底面が 1 になるのは、$n-1$ 回目の試行後に底面が 2, 3, 4, 5 のいずれかであり、かつ $n$ 回目の試行で 1 の面が選ばれる場合のみである。 $n-1$ 回目の試行後に底面が 2, 3, 4, 5 のいずれかである確率は $1 - q_{n-1}$ である。このとき、隣り合う4つの面には必ず 1 が含まれており、その面が選ばれる確率は、現在の底面にかかわらず $\frac{1}{14}$ である。

したがって、$n \ge 2$ のとき、 $$p_n(1) = \frac{1}{14} (1 - q_{n-1})$$ (2) で求めた $q_n$ の式を用いて $q_{n-1}$ を代入すると、 $$\begin{aligned} p_n(1) &= \frac{1}{14} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{14} \left\{ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} \right\} \\ &= \frac{1}{21} + \frac{1}{42} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} \\ &= \frac{1}{21} - \frac{1}{21} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\ &= \frac{1}{21} \left\{ 1 - \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned}$$

ここで、$n=1$ とすると $$p_1(1) = \frac{1}{21} (1 - 1) = 0$$ となり、$q_1 = 0$ から得られる $p_1(1) = 0$ と一致するため、$n=1$ のときも成立する。