名古屋大学 2006年 理系 第4問 解説

方針・初手

推移のルールを確率の形で表すことから始める。サイコロの向かい合う面の和が $7$ であるため、底面が $i$ のとき、隣り合う4面の数字の和は常に $21 - 7 = 14$ となる。これにより、ある状態からどの面へ推移するかが、現在の底面によらず定数として決まることに着目する。

解法1

(1)

正六面体の向かい合う面の数字の和は $7$ である。したがって、底面の数字が $i$ （上面の数字が $7-i$）のとき、側面にくる（隣り合う）4つの面の数字の和は $$ (1+2+3+4+5+6) - i - (7-i) = 21 - 7 = 14 $$ と常に一定である。

問題の条件より、隣り合う4面のうち、数字が $k$ である面が新しい底面になる確率は $\frac{k}{14}$ となる。

$n$ 回目の試行後に底面が $m$ である確率が $p_n(m)$ である。 $n+1$ 回目に底面が $m$ となるのは、$n$ 回目の底面が $m$ および $7-m$ のいずれでもないときである。 よって、任意の $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ に対して、以下の関係が成り立つ。 $$ p_{n+1}(m) = \frac{m}{14} \{ 1 - (p_n(m) + p_n(7-m)) \} $$

$q_n = p_n(1) + p_n(6)$ について、上の関係式を用いると $$ \begin{aligned} q_{n+1} &= p_{n+1}(1) + p_{n+1}(6) \\ &= \frac{1}{14} \{ 1 - (p_n(1) + p_n(6)) \} + \frac{6}{14} \{ 1 - (p_n(6) + p_n(1)) \} \\ &= \frac{7}{14} (1 - q_n) \\ &= -\frac{1}{2} q_n + \frac{1}{2} \end{aligned} $$ この漸化式を変形すると、 $$ q_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \left( q_n - \frac{1}{3} \right) $$ となる。

初期状態は底面が $1$ であるため、1回目の試行後に底面が $1$ または $6$ になることはない。よって $q_1 = p_1(1) + p_1(6) = 0$ である。 したがって、数列 $\left\{ q_n - \frac{1}{3} \right\}$ は初項 $0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列となり、 $$ q_n - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} $$ $$ q_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} $$ を得る。

同様にして、$r_n = p_n(2) + p_n(5)$、$s_n = p_n(3) + p_n(4)$ についても、 $$ r_{n+1} = -\frac{1}{2} r_n + \frac{1}{2} $$ $$ s_{n+1} = -\frac{1}{2} s_n + \frac{1}{2} $$ が成り立つ。

初期状態（底面 $1$）から1回目の試行で底面が $2, 5, 3, 4$ になる確率はそれぞれ $\frac{2}{14}, \frac{5}{14}, \frac{3}{14}, \frac{4}{14}$ であるから、 $$ r_1 = p_1(2) + p_1(5) = \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$ $$ s_1 = p_1(3) + p_1(4) = \frac{3}{14} + \frac{4}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$ である。漸化式を変形すると、 $$ r_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \left( r_n - \frac{1}{3} \right) $$ より、数列 $\left\{ r_n - \frac{1}{3} \right\}$ は初項 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。 $$ r_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$ $$ r_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

$s_n$ についても初項と漸化式が全く同じであるため、 $$ s_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$ となる。

(2)

$n \ge 2$ のとき、(1) で立てた関係式 $p_n(m) = \frac{m}{14} \{ 1 - (p_{n-1}(m) + p_{n-1}(7-m)) \}$ を用いる。

$m=1, 6$ のとき、 $$ \begin{aligned} p_n(1) &= \frac{1}{14} (1 - q_{n-1}) \\ &= \frac{1}{14} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{14} \left\{ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-2} \right\} \\ &= \frac{1}{21} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} p_n(6) &= \frac{6}{14} (1 - q_{n-1}) \\ &= \frac{2}{7} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ これらは $n=1$ のとき、それぞれ $p_1(1) = 0$、$p_1(6) = 0$ となり成立する。

$m=2, 5$ のとき、 $$ \begin{aligned} p_n(2) &= \frac{2}{14} (1 - r_{n-1}) \\ &= \frac{1}{7} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{7} \left\{ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ &= \frac{1}{21} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} p_n(5) &= \frac{5}{14} (1 - r_{n-1}) \\ &= \frac{5}{42} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ これらは $n=1$ のとき、それぞれ $p_1(2) = \frac{1}{7} = \frac{2}{14}$、$p_1(5) = \frac{5}{14}$ となり成立する。

$m=3, 4$ のとき、 $s_{n-1} = r_{n-1}$ であることから、 $$ \begin{aligned} p_n(3) &= \frac{3}{14} (1 - s_{n-1}) \\ &= \frac{3}{14} \cdot \frac{1}{3} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ &= \frac{1}{14} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} p_n(4) &= \frac{4}{14} (1 - s_{n-1}) \\ &= \frac{2}{21} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$ これらも $n=1$ のとき、それぞれ $p_1(3) = \frac{3}{14}$、$p_1(4) = \frac{4}{14}$ となり成立する。

解説

マルコフ連鎖（確率遷移）の問題。底面の目 $i$ と上面の目 $7-i$ のペアに着目することで、隣り合う面の数字の和が常に一定になる性質を見抜くことが第一歩である。 これにより、底面が特定の面になる確率は「その面の属するペアの確率の和」のみに依存することがわかり、ペアごとの漸化式を立てることができる。 $p_{n+1}(m)$ を立式する際、$n=1$ と $n \ge 2$ の場合分けを意識しつつ、求めた式が $n=1$ の初期状態でも成立することを確認する手順を踏むと安全である。

答え

(1) $$ \begin{aligned} q_n &= \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \\ r_n &= \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n \\ s_n &= \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n \end{aligned} $$

(2) $$ \begin{aligned} p_n(1) &= \frac{1}{21} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ p_n(2) &= \frac{1}{21} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ p_n(3) &= \frac{1}{14} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ p_n(4) &= \frac{2}{21} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ p_n(5) &= \frac{5}{42} \left\{ 2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ p_n(6) &= \frac{2}{7} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{aligned} $$