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名古屋大学 2010年文系第3問解説

方針・初手

赤玉の移動に着目し、操作ごとに赤玉を誰が持っているかという状態の推移を追うことがポイントである。玉全体の交換を考える必要はなく、「Aが赤玉を持つ」「Bが赤玉を持つ」「Cが赤玉を持つ」の3つの状態間で確率の漸化式（マルコフ連鎖）を立てる。 (3) は $n$ の偶奇で成り立つ等式・不等式が異なるため、数学的帰納法を用いて $n=2m-1, 2m$ をまとめて1ステップとして証明する。 (4) は確率の和が常に1になること（$a_n + b_n + c_n = 1$）を利用し、連立漸化式から $b_n$ だけの漸化式を導いて解く。

解法1

(1)

A、B、Cが赤玉を持っている状態の推移を考える。表が出たときはAとBの玉が交換され、裏が出たときはBとCの玉が交換される。

赤玉がAにあるとき、表（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとBへ移り、裏（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとAにとどまる。
赤玉がBにあるとき、表（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとAへ移り、裏（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとCへ移る。
赤玉がCにあるとき、表（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとCにとどまり、裏（確率 $\frac{1}{2}$）が出るとBへ移る。

はじめ（0回目）はAが赤玉を持っているので、確率1で赤玉はAにある。 1回の操作後、赤玉がA、B、Cにある確率はそれぞれ、

$$ a_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

$$ b_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

$$ c_1 = 0 $$

さらに1回の操作を行った後の確率は、1回目の状態に対する確率を利用して求められる。

$$ a_2 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} b_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

$$ b_2 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} c_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{4} $$

$$ c_2 = \frac{1}{2} b_1 + \frac{1}{2} c_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{4} $$

(2)

(1) の考察と同様に、$n$ 回目の状態から $n+1$ 回目の状態への推移を考える。 $n+1$ 回目の操作後に赤玉がAにあるのは、「$n$ 回目にAにあり、裏が出る」または「$n$ 回目にBにあり、表が出る」場合であるから、

$$ a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} b_n $$

$n+1$ 回目の操作後に赤玉がBにあるのは、「$n$ 回目にAにあり、表が出る」または「$n$ 回目にCにあり、裏が出る」場合であるから、

$$ b_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} c_n $$

$n+1$ 回目の操作後に赤玉がCにあるのは、「$n$ 回目にBにあり、裏が出る」または「$n$ 回目にCにあり、表が出る」場合であるから、

$$ c_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} c_n $$

(3)

すべての自然数 $m$ について、以下の命題 $(P)$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。 $(P)$ : 「$n=2m-1$ のとき $a_{2m-1} = b_{2m-1} > c_{2m-1}$ が成り立ち、$n=2m$ のとき $a_{2m} > b_{2m} = c_{2m}$ が成り立つ」

(i) $m=1$ のとき

(1) の計算結果より、 $n=1$ において $a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = \frac{1}{2}, c_1 = 0$ より $a_1 = b_1 > c_1$ が成り立つ。 $n=2$ において $a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = \frac{1}{4}, c_2 = \frac{1}{4}$ より $a_2 > b_2 = c_2$ が成り立つ。よって、$m=1$ のとき $(P)$ は成り立つ。

(ii) $m=k$ のとき $(P)$ が成り立つと仮定する。

すなわち、$a_{2k-1} = b_{2k-1} > c_{2k-1}$ かつ $a_{2k} > b_{2k} = c_{2k}$ が成り立つと仮定する。 $m=k+1$ のとき、すなわち $n=2k+1, 2k+2$ のときを考える。

$n=2k+1$ のとき、(2) の漸化式より、

$$ \begin{cases} a_{2k+1} = \frac{1}{2} a_{2k} + \frac{1}{2} b_{2k} \\ b_{2k+1} = \frac{1}{2} a_{2k} + \frac{1}{2} c_{2k} \\ c_{2k+1} = \frac{1}{2} b_{2k} + \frac{1}{2} c_{2k} \end{cases} $$

仮定より $b_{2k} = c_{2k}$ であるから、

$$ a_{2k+1} = \frac{1}{2} a_{2k} + \frac{1}{2} c_{2k} = b_{2k+1} $$

また、

$$ a_{2k+1} - c_{2k+1} = \left( \frac{1}{2} a_{2k} + \frac{1}{2} b_{2k} \right) - \left( \frac{1}{2} b_{2k} + \frac{1}{2} c_{2k} \right) = \frac{1}{2} (a_{2k} - c_{2k}) $$

仮定より $a_{2k} > c_{2k}$ であるから、$a_{2k+1} - c_{2k+1} > 0$、すなわち $a_{2k+1} > c_{2k+1}$。したがって、$a_{2k+1} = b_{2k+1} > c_{2k+1}$ が成り立つ。

$n=2k+2$ のとき、(2) の漸化式より、

$$ \begin{cases} a_{2k+2} = \frac{1}{2} a_{2k+1} + \frac{1}{2} b_{2k+1} \\ b_{2k+2} = \frac{1}{2} a_{2k+1} + \frac{1}{2} c_{2k+1} \\ c_{2k+2} = \frac{1}{2} b_{2k+1} + \frac{1}{2} c_{2k+1} \end{cases} $$

上で示したように $a_{2k+1} = b_{2k+1}$ であるから、

$$ b_{2k+2} = \frac{1}{2} b_{2k+1} + \frac{1}{2} c_{2k+1} = c_{2k+2} $$

また、

$$ a_{2k+2} - b_{2k+2} = \left( \frac{1}{2} a_{2k+1} + \frac{1}{2} b_{2k+1} \right) - \left( \frac{1}{2} a_{2k+1} + \frac{1}{2} c_{2k+1} \right) = \frac{1}{2} (b_{2k+1} - c_{2k+1}) $$

上で示したように $b_{2k+1} > c_{2k+1}$ であるから、$a_{2k+2} - b_{2k+2} > 0$、すなわち $a_{2k+2} > b_{2k+2}$。したがって、$a_{2k+2} > b_{2k+2} = c_{2k+2}$ が成り立つ。

以上より、$m=k+1$ のときも $(P)$ は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $m$ について $(P)$ は成り立つ。すなわち、$n$ が奇数ならば $a_n = b_n > c_n$ が成り立ち、$n$ が偶数ならば $a_n > b_n = c_n$ が成り立つ。

(4)

常にどれか1つの玉が赤玉であるから、すべての自然数 $n$ について、

$$ a_n + b_n + c_n = 1 $$

が成り立つ。これより、$a_n + c_n = 1 - b_n$ である。

(2) で求めた $b_{n+1}$ の式を変形する。

$$ b_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + c_n) = \frac{1}{2} (1 - b_n) = -\frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} $$

この漸化式は、特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{2}$ を解くと $\alpha = \frac{1}{3}$ となることから、次のように変形できる。

$$ b_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \left( b_n - \frac{1}{3} \right) $$

よって、数列 $\left\{ b_n - \frac{1}{3} \right\}$ は、初項が $b_1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、一般項は

$$ b_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

これを整理して $b_n$ を得る。

$$ b_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

解説

状態推移を確率漸化式で表現する、マルコフ連鎖を題材とした標準的な問題である。玉自体の交換をすべて考えるのではなく、「特定の玉（ここでは赤玉）を誰が持っているか」という3つの状態に絞って推移を追うことが最大のポイントとなる。 (3) は連立漸化式の対称性に注目する問題であるが、問題文で示したい命題を提示してくれているため、指示通りに数学的帰納法で丁寧に処理すればよい。 (4) は3項間の確率漸化式では定番である「確率の総和が1」となる関係式 $a_n + b_n + c_n = 1$ を利用して文字を消去する手法を用いる。