名古屋大学 2010年 理系 第3問 解説

方針・初手

赤玉の移動にのみ着目する。玉は赤、白、青の3種類あるが、$A$, $B$, $C$ がそれぞれ赤玉を持っている確率のみを問われているため、赤玉がどの人にあるかの状態遷移を考えればよい。 $n$ 回目の操作後の状態から $n+1$ 回目の操作後の状態への確率の推移を調べ、連立漸化式を立てて解く。常に $a_n + b_n + c_n = 1$ が成り立つことを利用すると、漸化式を簡単に解くことができる。

解法1

(1)

はじめ、赤玉は $A$ が持っている。 1回目の操作で、 表（確率 $\frac{1}{2}$）が出れば $A$ と $B$ の玉を交換するので、赤玉は $B$ に移る。 裏（確率 $\frac{1}{2}$）が出れば $B$ と $C$ の玉を交換するので、赤玉は $A$ にとどまる。 したがって、

$$ a_1 = \frac{1}{2}, \quad b_1 = \frac{1}{2}, \quad c_1 = 0 $$

である。

次に、1回目の操作後に赤玉が $A$, $B$, $C$ にある確率がそれぞれ $a_1, b_1, c_1$ であるから、2回目の操作後に赤玉が $A$, $B$, $C$ にある確率 $a_2, b_2, c_2$ は次のように計算できる。

2回目の操作後に赤玉が $A$ にあるのは、1回目の後に $A$ にあり裏が出るか、1回目の後に $B$ にあり表が出る場合なので、

$$ a_2 = a_1 \times \frac{1}{2} + b_1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

2回目の操作後に赤玉が $B$ にあるのは、1回目の後に $A$ にあり表が出るか、1回目の後に $C$ にあり裏が出る場合なので、

$$ b_2 = a_1 \times \frac{1}{2} + c_1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

2回目の操作後に赤玉が $C$ にあるのは、1回目の後に $B$ にあり裏が出るか、1回目の後に $C$ にあり表が出る場合なので、

$$ c_2 = b_1 \times \frac{1}{2} + c_1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

(2)

$n$ 回目の操作後に赤玉が $A$, $B$, $C$ にある確率はそれぞれ $a_n, b_n, c_n$ である。 $n+1$ 回目の操作において、

赤玉が $A$ にある状態になるのは、$n$ 回目に $A$ にあり裏が出るか、$n$ 回目に $B$ にあり表が出るかのいずれかであるから、

$$ a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} b_n $$

赤玉が $B$ にある状態になるのは、$n$ 回目に $A$ にあり表が出るか、$n$ 回目に $C$ にあり裏が出るかのいずれかであるから、

$$ b_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} c_n $$

赤玉が $C$ にある状態になるのは、$n$ 回目に $B$ にあり裏が出るか、$n$ 回目に $C$ にあり表が出るかのいずれかであるから、

$$ c_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} c_n $$

(3)

常に玉は $A$, $B$, $C$ のいずれかにあるので、任意の自然数 $n$ に対して

$$ a_n + b_n + c_n = 1 $$

が成り立つ。

(2) で求めた $b_{n+1}$ の式に $a_n + c_n = 1 - b_n$ を代入すると、

$$ b_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + c_n) = \frac{1}{2} (1 - b_n) = -\frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} $$

となる。この漸化式を変形すると、

$$ b_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \left( b_n - \frac{1}{3} \right) $$

よって、数列 $\left\{ b_n - \frac{1}{3} \right\}$ は初項 $b_1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ b_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

したがって、

$$ b_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

次に、(2) の $a_{n+1}$ の式から $c_{n+1}$ の式を辺々引くと、

$$ a_{n+1} - c_{n+1} = \left( \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} b_n \right) - \left( \frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} c_n \right) = \frac{1}{2} (a_n - c_n) $$

よって、数列 $\{ a_n - c_n \}$ は初項 $a_1 - c_1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ a_n - c_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

また、$a_n + c_n = 1 - b_n$ であるから、これに先ほど求めた $b_n$ を代入して

$$ a_n + c_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

求めた $a_n + c_n$ と $a_n - c_n$ の式を辺々足すと、

$$ 2a_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

両辺を $2$ で割って、

$$ a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} $$

同様に、辺々引くと、

$$ 2c_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

両辺を $2$ で割って、

$$ c_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} $$

解説

状態遷移（マルコフ連鎖）に基づく確率と漸化式の典型問題である。 3つの状態を行き来するため連立漸化式となるが、確率の総和が $1$ となる性質（$a_n + b_n + c_n = 1$）を利用して1変数の漸化式に帰着させる手法は非常に頻出である。 また、$a_{n+1} - c_{n+1}$ のように式の対称性に着目して差を取ることで、別の等比数列を容易に作り出せる点も、連立漸化式を解く上で定石となる。

答え

(1)

$$ a_1 = \frac{1}{2}, \quad b_1 = \frac{1}{2}, \quad c_1 = 0 $$

$$ a_2 = \frac{1}{2}, \quad b_2 = \frac{1}{4}, \quad c_2 = \frac{1}{4} $$

(2)

$$ \begin{cases} a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} b_n \\ b_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} c_n \\ c_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + \frac{1}{2} c_n \end{cases} $$

(3)

$$ a_n = \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} + \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

$$ b_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

$$ c_n = \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} + \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$