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名古屋大学 1971年理系第6問解説

方針・初手

1回の試行において、各数字の札を引く確率と、そのときの賞金がどうなるかを整理する。0を引いたときの「引きなおし」を含めた全体の賞金の期待値を立式する。 (1) は、賞金が $k$ ($1 \le k \le 9$) となる確率を直接求める方法と、1回引いたときの期待値を基準に考える方法がある。 (2) は、(1) で求めた期待値の式から $\frac{n}{m}$ についての不等式を導き、それを解く。

解法1

(1)

袋の中には、0の札が $n$ 枚、1から9の札が各 $m$ 枚、合計 $n+9m$ 枚の札がある。この中から1枚を引くとき、数字 $k$ ($k=1, 2, \dots, 9$) を引く確率は $\frac{m}{n+9m}$、数字0を引く確率は $\frac{n}{n+9m}$ である。

0を引いた場合は引きなおしを行うため、最終的に賞金が $k$ ($k=1, 2, \dots, 9$) となるのは以下の2つの排反な場合である。

(i) 1回目に $k$ の札を引く場合。

(ii) 1回目に0の札を引き、2回目に $k$ の札を引く場合。

したがって、賞金が $k$ ($k=1, 2, \dots, 9$) となる確率 $P(k)$ は、

$$ P(k) = \frac{m}{n+9m} + \frac{n}{n+9m} \cdot \frac{m}{n+9m} = \frac{m(n+9m)+mn}{(n+9m)^2} = \frac{m(2n+9m)}{(n+9m)^2} $$

となる。なお、賞金が0となるのは2回連続で0の札を引く場合であり、その確率は $\left(\frac{n}{n+9m}\right)^2$ であるが、賞金が0であるため期待値には影響しない。

よって、賞金の期待値 $E$ は、

$$ \begin{aligned} E &= \sum_{k=1}^{9} k \cdot P(k) \\ &= \sum_{k=1}^{9} k \cdot \frac{m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \\ &= \frac{m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \sum_{k=1}^{9} k \\ &= \frac{m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \\ &= \frac{45m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \end{aligned} $$

(2)

期待値 $E$ が3以下となる条件は、

$$ \frac{45m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \le 3 $$

両辺を3で割り、$m^2$ ($>0$) で分母分子を割ると、比 $\frac{n}{m}$ が現れる。$\frac{n}{m} = x$ とおくと、

$$ \frac{15(2x+9)}{(x+9)^2} \le 1 $$

$n, m$ は札の枚数であり、比を考えるため $m>0$、また $n \ge 0$ であるから $x \ge 0$ であり、$x+9>0$ である。両辺に $(x+9)^2$ を掛けて整理する。

$$ \begin{aligned} 15(2x+9) &\le (x+9)^2 \\ 30x+135 &\le x^2+18x+81 \\ x^2-12x-54 &\ge 0 \end{aligned} $$

方程式 $x^2-12x-54=0$ の解は、解の公式より

$$ x = 6 \pm \sqrt{36+54} = 6 \pm 3\sqrt{10} $$

不等式の解は $x \le 6-3\sqrt{10}, \quad 6+3\sqrt{10} \le x$ となる。ここで、$3 < \sqrt{10} < 4$ より $9 < 3\sqrt{10} < 12$ であるから、$6-3\sqrt{10} < 0$ である。 $x \ge 0$ より、満たすべき条件は

$$ x \ge 6+3\sqrt{10} $$

すなわち、比 $\frac{n}{m}$ を $6+3\sqrt{10}$ 以上にすればよい。

解法2

(1)

1回札を引いたときに出た数字を $X$ とすると、$X$ の期待値 $E(X)$ は

$$ \begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot \frac{n}{n+9m} + \sum_{k=1}^{9} k \cdot \frac{m}{n+9m} \\ &= \frac{m}{n+9m} \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} \\ &= \frac{45m}{n+9m} \end{aligned} $$

問題のルールでは、1回目に引いた数字が0であった場合のみ、追加でもう1回札を引き、その数字が最終的な賞金となる。 1回目に0を引く確率は $\frac{n}{n+9m}$ であり、このとき2回目に引いて得られる賞金の期待値は、1回だけ引くときの期待値 $E(X)$ と等しい。

したがって、全体の賞金の期待値 $E$ は、1回目で得られる賞金の期待値と、1回目で0を引いたときに2回目で得られる賞金の期待値の和となるので、

$$ \begin{aligned} E &= E(X) + \frac{n}{n+9m} \cdot E(X) \\ &= E(X) \left( 1 + \frac{n}{n+9m} \right) \\ &= \frac{45m}{n+9m} \cdot \frac{2n+9m}{n+9m} \\ &= \frac{45m(2n+9m)}{(n+9m)^2} \end{aligned} $$

(2) は解法1と同様のため省略

解説

(1) の期待値計算は、各賞金ごとの確率を計算する（解法1）か、期待値の線形性と条件付き期待値の考え方を利用する（解法2）かの2通りのアプローチがある。解法2の方が計算量が少なくミスを防ぎやすいが、解法1のような基本に忠実な立式も確実にできるようにしておきたい。 (2) は (1) で求めた式を変形するだけだが、「比 $\frac{n}{m}$ を」と指定されているため、文字を塊で捉えて $x$ などと置き換えることで見通しよく計算が進む。