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名古屋大学 1971年理系第5問解説

方針・初手

(1) 関数の微分を行って導関数を求め、増減表を作成する。関数の極限 $\lim_{x \to +0} y$ と $\lim_{x \to \infty} y$ を調べることで、漸近線の有無を確認し、グラフの概形を描く。

(2) 被積分関数が対数関数と多項式（有理関数）の積であるため、部分積分法を用いる。その後、$t \to \infty$ の極限を計算する。

解法1

(1)

$y = \frac{\log x}{x^3} \ (x > 0)$ について、微分を行う。

$$ \begin{aligned} y' &= \frac{(\log x)' \cdot x^3 - \log x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} \\ &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - \log x \cdot 3x^2}{x^6} \\ &= \frac{x^2 - 3x^2 \log x}{x^6} \\ &= \frac{1 - 3\log x}{x^4} \end{aligned} $$

$y' = 0$ とすると、

$$ 1 - 3\log x = 0 \iff \log x = \frac{1}{3} \iff x = e^{\frac{1}{3}} $$

$x > 0$ における増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline x & (0) & \cdots & e^{\frac{1}{3}} & \cdots \\ \hline y' & & + & 0 & - \\ \hline y & & \nearrow & \text{極大} & \searrow \\ \hline \end{array} $$

極大値は、

$$ y(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{\log e^{\frac{1}{3}}}{(e^{\frac{1}{3}})^3} = \frac{\frac{1}{3}}{e} = \frac{1}{3e} $$

また、定義域の端と無限遠での極限を調べる。

$$ \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x^3} = -\infty $$

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^3} = 0 $$

（$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^p} = 0 \ (p>0)$ は既知とする）

以上より、グラフは $y$ 軸（$x=0$）および $x$ 軸（$y=0$）を漸近線にもつ。グラフの概形は、第4象限の $x=0$ の近傍から単調に増加し、$x=1$ で $x$ 軸と交わり（$y(1)=0$）、$x=e^{\frac{1}{3}}$ で極大値 $\frac{1}{3e}$ をとった後、単調に減少して $x$ 軸に上から漸近する曲線となる。

(2)

部分積分法を用いて定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{t} \frac{\log x}{x^3} dx &= \int_{1}^{t} x^{-3} \log x dx \\ &= \int_{1}^{t} \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right)' \log x dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2x^2} \log x \right]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} \left( -\frac{1}{2x^2} \right) \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= -\frac{\log t}{2t^2} + 0 + \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{-3} dx \\ &= -\frac{\log t}{2t^2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{1}^{t} \\ &= -\frac{\log t}{2t^2} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{t^2} - 1 \right) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4t^2} - \frac{\log t}{2t^2} \end{aligned} $$

次に、$t \to +\infty$ の極限を求める。$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t^p} = 0 \ (p>0)$ を用いると、

$$ \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t^2} = 0 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{\log x}{x^3} dx &= \lim_{t \to +\infty} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4t^2} - \frac{\log t}{2t^2} \right) \\ &= \frac{1}{4} - 0 - 0 \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

解説

(1) は商の微分法を用いて正確に導関数を計算する基本的な問題である。グラフの概形を描くためには極限の計算が不可欠であり、特に $x \to \infty$ における対数関数の弱さを利用した極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^p} = 0$ は、高校数学において暗黙の了解として用いられることが多い。グラフを描く際は、漸近線と軸との交点（この場合は $(1, 0)$）を意識するとよい。

(2) は $\log x$ と $x^n$ の積の積分であり、部分積分法の典型的なパターンである。$\log x$ を微分する側に回し、$x^{-3}$ を積分する側に回すことで計算が進む。極限計算では、(1)と同様の無限大への飛ばし方が要求される。定積分から極限を求めるこの一連の作業は、広義積分の入門とも言える頻出テーマである。