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名古屋大学 1977年理系第1問解説

方針・初手

2つの直線上の動点 $P, Q$ を、それぞれ実数パラメータ $s, t$ を用いてベクトルで表す。 (1) は $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ}$ を $s, t$ の式で表し、そのベクトル方程式がどのような図形を表すかを読み取る。 (2) は線分の長さの2乗 $|\overrightarrow{PQ}|^2$ を $s, t$ の2次式とみなし、平方完成を行って最小値を求める。別解として、最短距離となる線分が2つの直線に直交することを利用する解法も考えられる。

解法1

実数 $s, t$ を用いて、点 $P, Q$ は次のように表せる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CD} \end{aligned} $$

ここで、各方向ベクトルを成分で計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (1-3, 2-1, 4-5) = (-2, 1, -1) \\ \overrightarrow{CD} &= (3-2, 1-(-1), 2-(-1)) = (1, 2, 3) \end{aligned} $$

となるから、点 $P, Q$ の位置ベクトルは次のように表される。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= (3, 1, 5) + s(-2, 1, -1) = (3-2s, 1+s, 5-s) \\ \overrightarrow{OQ} &= (2, -1, -1) + t(1, 2, 3) = (2+t, -1+2t, -1+3t) \end{aligned} $$

(1)

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \overrightarrow{PQ} \\ &= (2+t - (3-2s), -1+2t - (1+s), -1+3t - (5-s)) \\ &= (-1+2s+t, -2-s+2t, -6+s+3t) \end{aligned} $$

この式を変形すると、

$$ \overrightarrow{OR} = (-1, -2, -6) - s(-2, 1, -1) + t(1, 2, 3) $$

すなわち、定点 $E(-1, -2, -6)$ をとると、

$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OE} - s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{CD} $$

と表せる。ここで、実数 $s, t$ は任意の値をとる。また、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ は実数倍の関係になく、互いに平行ではない。したがって、点 $R$ の集合は、点 $(-1, -2, -6)$ を通り、2つのベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ に平行な平面を表す。

(2)

線分 $PQ$ の長さの2乗 $|\overrightarrow{PQ}|^2$ を $f(s, t)$ とおく。

$$ f(s, t) = (-1+2s+t)^2 + (-2-s+2t)^2 + (-6+s+3t)^2 $$

各項を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (-1+2s+t)^2 &= 4s^2 + t^2 + 4st - 4s - 2t + 1 \\ (-2-s+2t)^2 &= s^2 + 4t^2 - 4st + 4s - 8t + 4 \\ (-6+s+3t)^2 &= s^2 + 9t^2 + 6st - 12s - 36t + 36 \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、

$$ f(s, t) = 6s^2 + 6st + 14t^2 - 12s - 46t + 41 $$

まず、$s$ について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(s, t) &= 6\left(s^2 + st - 2s\right) + 14t^2 - 46t + 41 \\ &= 6\left\{s^2 + (t-2)s\right\} + 14t^2 - 46t + 41 \\ &= 6\left(s + \frac{t-2}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{t-2}{2}\right)^2 + 14t^2 - 46t + 41 \\ &= 6\left(s + \frac{t-2}{2}\right)^2 - \frac{3}{2}(t^2 - 4t + 4) + 14t^2 - 46t + 41 \\ &= 6\left(s + \frac{t-2}{2}\right)^2 + \frac{25}{2}t^2 - 40t + 35 \end{aligned} $$

次に、残りの $t$ の部分について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} \frac{25}{2}t^2 - 40t + 35 &= \frac{25}{2}\left(t^2 - \frac{16}{5}t\right) + 35 \\ &= \frac{25}{2}\left(t - \frac{8}{5}\right)^2 - \frac{25}{2} \cdot \left(\frac{8}{5}\right)^2 + 35 \\ &= \frac{25}{2}\left(t - \frac{8}{5}\right)^2 - 32 + 35 \\ &= \frac{25}{2}\left(t - \frac{8}{5}\right)^2 + 3 \end{aligned} $$

したがって、$f(s, t)$ は次のように変形できる。

$$ f(s, t) = 6\left(s + \frac{t-2}{2}\right)^2 + \frac{25}{2}\left(t - \frac{8}{5}\right)^2 + 3 $$

ここで、$s + \frac{t-2}{2} = 0$ かつ $t - \frac{8}{5} = 0$、すなわち $t = \frac{8}{5}, s = \frac{1}{5}$ のとき、$f(s, t)$ は最小値 $3$ をとる。よって、線分 $PQ$ の長さの最小値は $\sqrt{3}$ である。

解法2

(2) の別解を示す。

線分 $PQ$ の長さが最小となるのは、直線 $PQ$ が直線 $AB$ および直線 $CD$ の両方と直交するときである。すなわち、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ かつ $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ を満たす $s, t$ を求めればよい。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= (-1+2s+t, -2-s+2t, -6+s+3t) \\ \overrightarrow{AB} &= (-2, 1, -1) \\ \overrightarrow{CD} &= (1, 2, 3) \end{aligned} $$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ より、

$$ \begin{aligned} -2(-1+2s+t) + 1(-2-s+2t) - 1(-6+s+3t) &= 0 \\ 2 - 4s - 2t - 2 - s + 2t + 6 - s - 3t &= 0 \\ -6s - 3t + 6 &= 0 \\ 2s + t - 2 &= 0 \quad \cdots \text{(A)} \end{aligned} $$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ より、

$$ \begin{aligned} 1(-1+2s+t) + 2(-2-s+2t) + 3(-6+s+3t) &= 0 \\ -1 + 2s + t - 4 - 2s + 4t - 18 + 3s + 9t &= 0 \\ 3s + 14t - 23 &= 0 \quad \cdots \text{(B)} \end{aligned} $$

(A) より $t = -2s + 2$ とし、これを (B) に代入すると、

$$ \begin{aligned} 3s + 14(-2s + 2) - 23 &= 0 \\ -25s + 5 &= 0 \\ s &= \frac{1}{5} \end{aligned} $$

このとき、

$$ t = -2\left(\frac{1}{5}\right) + 2 = \frac{8}{5} $$

求めた $s, t$ を $\overrightarrow{PQ}$ の成分に代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \left(-1+\frac{2}{5}+\frac{8}{5}, -2-\frac{1}{5}+\frac{16}{5}, -6+\frac{1}{5}+\frac{24}{5}\right) \\ &= \left(-1+2, -2+3, -6+5\right) \\ &= (1, 1, -1) \end{aligned} $$

したがって、線分 $PQ$ の長さの最小値は、

$$ |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} $$

解説

空間上の2直線間の最短距離を求める典型的な問題である。 (1) では、ベクトル方程式が平面を表すことの理解が問われている。$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + s\overrightarrow{u} + t\overrightarrow{v}$ が、点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、方向ベクトル $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ に平行な平面をなすことを確認しておきたい。また、法線ベクトルを求めて方程式 $x+y-z=3$ の形で記述することも可能である。 (2) の解法1は、2変数の2次関数の最小値を平方完成により求める代数的なアプローチである。確実な手法ではあるが計算量がやや多い。解法2は、「ねじれの位置にある2直線の最短距離を与える線分は、両方の直線と直交する」という幾何学的な性質を利用したアプローチである。ベクトルの内積が0になるという条件を連立方程式にするだけで済むため、計算ミスを減らしやすい。実戦では解法2の方針が推奨される。