名古屋大学 1988年 理系 第5問 解説

方針・初手

最初（0回目）に球は偶数番である4番の箱にあり、1回の試行で箱の番号は必ず $\pm 1$ されるため、偶数番の箱と奇数番の箱を交互に移動します。したがって、$2n$ 回の試行後に球が存在し得る箱は、偶数番である2番、4番、6番の箱のみとなります。

この性質から $p_n + q_n + r_n = 1$ が常に成り立つことに着目し、2回の試行を1セットとした偶数番の箱間の推移確率を求めて、連立漸化式を立式します。

解法1

球が $a$ 番の箱にあるとき、1回の試行によって $c$ 番の箱に移動する確率を $P_{a \to c}$ と表す。 サイコロの出る目 $b$ は $1 \leqq b \leqq 6$ であるから、問題の規則により以下のようになる。 $a=1$ のとき、常に $1 \leqq b$ であるため $c = 2$ となる。 $a=7$ のとき、常に $7 > b$ であるため $c = 6$ となる。 $2 \leqq a \leqq 6$ のとき、$b < a$ ならば $c = a-1$ となり、$b \geqq a$ ならば $c = a+1$ となる。

これより、各移動の確率 $P_{a \to c}$ は次の通り計算できる。

$$ \begin{aligned} & P_{1 \to 2} = 1 \\ & P_{2 \to 1} = \frac{1}{6}, \quad P_{2 \to 3} = \frac{5}{6} \\ & P_{3 \to 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad P_{3 \to 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ & P_{4 \to 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P_{4 \to 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ & P_{5 \to 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad P_{5 \to 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ & P_{6 \to 5} = \frac{5}{6}, \quad P_{6 \to 7} = \frac{1}{6} \\ & P_{7 \to 6} = 1 \end{aligned} $$

(1)

最初は4番の箱に球がある。2回の試行後に4番、2番、6番の箱にある確率 $p_1, q_1, r_1$ はそれぞれ次のように求められる。

$$ \begin{aligned} p_1 &= P_{4 \to 3} P_{3 \to 4} + P_{4 \to 5} P_{5 \to 4} \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} q_1 &= P_{4 \to 3} P_{3 \to 2} \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} r_1 &= P_{4 \to 5} P_{5 \to 6} \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{aligned} $$

(2)

偶数回の試行後に球が存在し得る箱は2番、4番、6番のいずれかのみである。 したがって、$n \geqq 1$ に対して $p_n + q_n + r_n = 1$ が成り立つ。

球が偶数番の箱にある状態から、2回の試行で各偶数番の箱へ移動する推移確率を計算する。 2番の箱から2回の試行で移動する確率は、

$$ \begin{aligned} & 2 \to 2 : \quad P_{2 \to 1} P_{1 \to 2} + P_{2 \to 3} P_{3 \to 2} = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \\ & 2 \to 4 : \quad P_{2 \to 3} P_{3 \to 4} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \\ & 2 \to 6 : \quad 0 \end{aligned} $$

4番の箱から2回の試行で移動する確率は、**(1)**の計算結果より、

$$ \begin{aligned} & 4 \to 2 : \quad \frac{1}{6} \\ & 4 \to 4 : \quad \frac{2}{3} \\ & 4 \to 6 : \quad \frac{1}{6} \end{aligned} $$

6番の箱から2回の試行で移動する確率は、

$$ \begin{aligned} & 6 \to 2 : \quad 0 \\ & 6 \to 4 : \quad P_{6 \to 5} P_{5 \to 4} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \\ & 6 \to 6 : \quad P_{6 \to 5} P_{5 \to 6} + P_{6 \to 7} P_{7 \to 6} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \times 1 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \end{aligned} $$

これらを用いると、$2n$ 回後から $2(n+1)$ 回後への状態推移は以下の漸化式で表される。

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{5}{9} q_n + \frac{2}{3} p_n + \frac{5}{9} r_n \\ q_{n+1} &= \frac{4}{9} q_n + \frac{1}{6} p_n \\ r_{n+1} &= \frac{1}{6} p_n + \frac{4}{9} r_n \end{aligned} $$

$p_n + q_n + r_n = 1$ より $q_n + r_n = 1 - p_n$ である。これを $p_{n+1}$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{5}{9} (q_n + r_n) + \frac{2}{3} p_n \\ &= \frac{5}{9} (1 - p_n) + \frac{2}{3} p_n \\ &= \frac{1}{9} p_n + \frac{5}{9} \end{aligned} $$

これを変形すると、

$$ p_{n+1} - \frac{5}{8} = \frac{1}{9} \left( p_n - \frac{5}{8} \right) $$

数列 $\left\{ p_n - \frac{5}{8} \right\}$ は初項 $p_1 - \frac{5}{8} = \frac{2}{3} - \frac{5}{8} = \frac{1}{24}$、公比 $\frac{1}{9}$ の等比数列であるから、

$$ p_n - \frac{5}{8} = \frac{1}{24} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1} $$

よって、

$$ p_n = \frac{5}{8} + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1} $$

次に $q_n, r_n$ の漸化式の辺々を引くと、

$$ q_{n+1} - r_{n+1} = \frac{4}{9} (q_n - r_n) $$

$q_1 - r_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0$ であるため、すべての $n \geqq 1$ において $q_n - r_n = 0$、すなわち $q_n = r_n$ が成り立つ。 $q_n + r_n = 1 - p_n$ より $2 q_n = 1 - p_n$ となるから、

$$ \begin{aligned} q_n = r_n &= \frac{1 - p_n}{2} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{5}{8} + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1} \right) \right\} \\ &= \frac{3}{16} - \frac{1}{48} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1} \end{aligned} $$

以上により、求める確率は得られた。（これらは $n \geqq 2$ の条件も満たす）

(3)

**(2)**の結果より、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{5}{8} + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1} \right\} = \frac{5}{8} $$

解説

推移確率の漸化式を立てる典型問題です。毎回の試行で箱の番号の偶奇が反転すること（パリティ）に着目すると、$2n$ 回後の状態が偶数番の箱のみに限られることが分かり、$p_n + q_n + r_n = 1$ という強力な条件を導出できます。 また、初期状態が真ん中の4番であり、両端への遷移のルールが対称であることから、$2n$ 回後に2番と6番にいる確率が等しいこと（$q_n = r_n$）に気付けると、計算量を減らしつつ見直しにも役立ちます。

答え

(1) $p_1 = \frac{2}{3}, \quad q_1 = \frac{1}{6}, \quad r_1 = \frac{1}{6}$

(2) $p_n = \frac{5}{8} + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1}$ $q_n = \frac{3}{16} - \frac{1}{48} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1}$ $r_n = \frac{3}{16} - \frac{1}{48} \left( \frac{1}{9} \right)^{n-1}$

(3) $\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{5}{8}$