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名古屋大学 1993年理系第4問解説

方針・初手

さいころを投げる試行における条件付き確率と漸化式の問題である。 (1) は $n=2$ の場合の確率を直接計算する。条件「2回目に初めて $x$ を超える」は「1回目は $x$ 以下であり、かつ2回目までの和が $x$ を超える」ことと同値であることに着目し、$x$ の値によって場合分けを行う。 (2) は $n$ 回目までの事象から $n+1$ 回目の事象への推移を考えるため、1回目に出たさいころの目で場合分けを行い、確率の漸化式を立式する。

解法1

(1)

$k$ 回目に出たさいころの目を $X_k$ とし、$S_k = \sum_{i=1}^k X_i$ とする。 2回目に初めて出る目の総和が自然数 $x$ より大きくなる条件は、

$$S_1 \le x \quad \text{かつ} \quad S_2 > x$$

すなわち

$$X_1 \le x \quad \text{かつ} \quad X_1 + X_2 > x$$

を満たすことである。 $X_1$ は $1$ から $6$ までの自然数であるから、$x$ の値によって場合分けを行う。

(i) $1 \le x \le 5$ のとき

条件 $X_1 \le x$ を満たす $X_1$ は $1, 2, \dots, x$ の $x$ 通りである。 $X_1 = k$ （$1 \le k \le x$）としたとき、$X_1 + X_2 > x$ を満たすには $X_2 > x - k$ であればよい。 $X_2$ は $6$ 以下の自然数であるから、$x - k + 1 \le X_2 \le 6$ を満たす。このような $X_2$ の目の出方は $6 - (x - k + 1) + 1 = 6 - x + k$ 通りある。よって、条件を満たす $(X_1, X_2)$ の組の総数は、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^x (6 - x + k) &= (6 - x) \sum_{k=1}^x 1 + \sum_{k=1}^x k \\ &= (6 - x)x + \frac{1}{2}x(x + 1) \\ &= \frac{1}{2}x \{ 2(6 - x) + (x + 1) \} \\ &= \frac{1}{2}x(13 - x) \end{aligned} $$

したがって、このときの確率は

$$P_2(x) = \frac{\frac{1}{2}x(13 - x)}{36} = \frac{x(13 - x)}{72}$$

(ii) $6 \le x \le 11$ のとき

$X_1 \le 6 \le x$ であるため、1回目の条件 $X_1 \le x$ は常に成り立つ。したがって、条件 $X_1 + X_2 > x$ を満たす確率を求めればよい。 $X_1 = k$ （$1 \le k \le 6$）とすると、$X_2 > x - k$ より $X_2 \ge x - k + 1$ となり、かつ $X_2 \le 6$ であるため、

$$x - k + 1 \le 6 \iff k \ge x - 5$$

を満たす必要がある。 $x \le 11$ であるから $x - 5 \le 6$ であり、$k$ は $x - 5 \le k \le 6$ の範囲の整数をとる。各 $k$ に対して、$x - k + 1 \le X_2 \le 6$ を満たす $X_2$ の出方は $6 - x + k$ 通りである。よって、条件を満たす $(X_1, X_2)$ の組の総数は、$j = k - (x - 6)$ と置き換えると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=x-5}^6 (6 - x + k) &= \sum_{j=1}^{12-x} j \\ &= \frac{1}{2}(12 - x)(12 - x + 1) \\ &= \frac{1}{2}(12 - x)(13 - x) \end{aligned} $$

したがって、このときの確率は

$$P_2(x) = \frac{\frac{1}{2}(12 - x)(13 - x)}{36} = \frac{(12 - x)(13 - x)}{72}$$

(iii) $x \ge 12$ のとき

$S_2 \le 12$ であるため、$S_2 > x$ となることはない。したがって、確率は $0$ である。

(2)

$n+1$ 回目に初めて出る目の総和が $x$ より大きくなるという事象は、「1回目に $k$ （$1 \le k \le 6$）の目が出て、その後の $n$ 回の試行で出る目の総和が初めて $x - k$ より大きくなる」という排反な事象の和集合で表される。

ここで、条件 $x > 6$ より $k \le 6 < x$ であるから、1回目に出た目によって総和が直ちに $x$ を超えることはない。また、$x - k \ge x - 6 > 0$ より $x - k$ は自然数であるから、残りの $n$ 回の試行に対する条件に $P_n$ の定義をそのまま適用できる。

1回目に $k$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ であり、その後にさいころを $n$ 回投げて和が初めて $x - k$ より大きくなる確率は $P_n(x - k)$ である。 $k$ は $1$ から $6$ までの値をとるため、全確率の定理より、求める確率 $P_{n+1}(x)$ は、

$$ \begin{aligned} P_{n+1}(x) &= \sum_{k=1}^6 \frac{1}{6} P_n(x - k) \\ &= \frac{1}{6} \{ P_n(x - 1) + P_n(x - 2) + P_n(x - 3) + P_n(x - 4) + P_n(x - 5) + P_n(x - 6) \} \end{aligned} $$

解説

確率の漸化式において、最初の1回目の試行の結果で場合分けをして状態の推移を考える典型問題である。

(1) では「2回目に初めて」という条件を見落とさないように注意が必要である。これは「1回目は $x$ 以下である」という制約を意味する。この制約が確率に影響を与えるのは $x \le 5$ のときだけであり、$x \ge 6$ のときは1回目の目が何であっても $x$ を超えないため、実質的に $S_2 > x$ となる確率を求めるだけの計算になる。

(2) は(1)における「1回目の結果による影響」を一般化したものである。条件 $x > 6$ があるおかげで、1回目でいきなり和が $x$ を超えてしまう事象を考慮しなくて済み、各目の出方に対してシンプルに $x-k$ への状態推移として立式できる。