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名古屋大学 1990年理系第3問解説

方針・初手

サイコロの目による1回の試行での「移動量」を整理する。円周上に3点 $A, B, C$ がこの順に並んでいるため、移動量を「3で割った余り」で分類し、それぞれの移動が起こる確率を求める。その後、$n$ 回目の状態（$A, B, C$ にいる確率）と $n-1$ 回目の状態を結ぶ連立漸化式を立てる。状態の確率の和が $1$ であること（$p_{n-1} + q_{n-1} + r_{n-1} = 1$）を利用して、式を簡略化していくのが定石である。

解法1

(1)

1回の試行による移動量を考える。円周上の点は $A \to B \to C \to A$ の順に並んでいるため、移動量を3で割った余りに注目する。

1つ進む場合 奇数（1, 3, 5）の目が出たときは1つ進む。偶数である4の目が出たときは4つ進むが、これは円を1周してさらに1つ進むことと同じなので、結果的に1つ進む。よって、1つ進む確率は、

$$ \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} $$

2つ進む場合 偶数である2の目が出たときは2つ進む。よって、2つ進む確率は、

$$ \frac{1}{6} $$

移動しない（0つ進む）場合 偶数である6の目が出たときは6つ進む。これは円を2周して元の位置に戻るため、実質的に移動しないことと同じである。よって、移動しない確率は、

$$ \frac{1}{6} $$

$n$ 回目の試行後に点 $A$ にいるのは、以下の3つのケースである。

$n-1$ 回目に点 $A$ にいて、移動しない場合
$n-1$ 回目に点 $B$ にいて、2つ進む場合
$n-1$ 回目に点 $C$ にいて、1つ進む場合

これらの事象は互いに排反であるため、$p_n$ は次のように表される。

$$ p_n = \frac{1}{6} p_{n-1} + \frac{1}{6} q_{n-1} + \frac{2}{3} r_{n-1} $$

ここで、$n-1$ 回目の試行後には必ず $A, B, C$ のいずれかにいるため、確率の総和について以下の関係が成り立つ。

$$ p_{n-1} + q_{n-1} + r_{n-1} = 1 $$

これを変形した $p_{n-1} + q_{n-1} = 1 - r_{n-1}$ を先ほどの漸化式に代入する。

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{6} (p_{n-1} + q_{n-1}) + \frac{2}{3} r_{n-1} \\ &= \frac{1}{6} (1 - r_{n-1}) + \frac{2}{3} r_{n-1} \\ &= \frac{1}{2} r_{n-1} + \frac{1}{6} \end{aligned} $$

(2)

(1)と同様に、$q_n$ と $r_n$ についても漸化式を立てる。

$n$ 回目の試行後に点 $B$ にいる確率 $q_n$ は、

$$ q_n = \frac{2}{3} p_{n-1} + \frac{1}{6} q_{n-1} + \frac{1}{6} r_{n-1} $$

確率の総和 $q_{n-1} + r_{n-1} = 1 - p_{n-1}$ を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} q_n &= \frac{2}{3} p_{n-1} + \frac{1}{6} (q_{n-1} + r_{n-1}) \\ &= \frac{2}{3} p_{n-1} + \frac{1}{6} (1 - p_{n-1}) \\ &= \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{6} \end{aligned} $$

$n$ 回目の試行後に点 $C$ にいる確率 $r_n$ は、

$$ r_n = \frac{1}{6} p_{n-1} + \frac{2}{3} q_{n-1} + \frac{1}{6} r_{n-1} $$

確率の総和 $p_{n-1} + r_{n-1} = 1 - q_{n-1}$ を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} r_n &= \frac{1}{6} (p_{n-1} + r_{n-1}) + \frac{2}{3} q_{n-1} \\ &= \frac{1}{6} (1 - q_{n-1}) + \frac{2}{3} q_{n-1} \\ &= \frac{1}{2} q_{n-1} + \frac{1}{6} \end{aligned} $$

得られた3つの漸化式はすべて、特性方程式 $\alpha = \frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{6}$ （解は $\alpha = \frac{1}{3}$）を利用して、次のように変形できる。

$$ p_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \left( r_{n-1} - \frac{1}{3} \right) $$

$$ q_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \left( p_{n-1} - \frac{1}{3} \right) $$

$$ r_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \left( q_{n-1} - \frac{1}{3} \right) $$

$p_n$ についての式に、$r_{n-1}$、$q_{n-2}$ の漸化式を順次代入して添字を下げる。

$$ \begin{aligned} p_n - \frac{1}{3} &= \frac{1}{2} \left( r_{n-1} - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( q_{n-2} - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( p_{n-3} - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( p_{n-3} - \frac{1}{3} \right) \end{aligned} $$

これにより、数列 $\left\{ p_{3k} - \frac{1}{3} \right\}$ （$k = 0, 1, 2, \dots$）は、公比 $\frac{1}{8}$ の等比数列であることがわかる。初め（$0$ 回目の試行後）は確実に点 $A$ にいるため、$p_0 = 1$ である。したがって、数列の初項は、

$$ p_0 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

一般項を求める。

$$ p_{3n} - \frac{1}{3} = \left( \frac{1}{8} \right)^n \left( p_0 - \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{8} \right)^n $$

よって、$p_{3n}$ は次のように求まる。

$$ p_{3n} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{8} \right)^n + \frac{1}{3} $$

解説

複数の状態（頂点）を行き来する確率の問題（マルコフ連鎖）の典型である。まず各事象の確率を正確に求めることが第一歩である。出た目の数だけ進むのではなく、円周上の周期性（mod 3）を利用して「何個先の点に移動するか」に変換することで見通しが良くなる。

状態が3つあるため、そのまま漸化式を立てると変数が3つ（$p_n, q_n, r_n$）になるが、和が $1$ であることを用いると式を綺麗に整理できる。 (2)では $p_n, q_n, r_n$ が巡回する対称な漸化式が得られる。これを順次代入していくことで、3つ前の項との関係（$n$ と $n-3$ の漸化式）を導き出し、$3n$ に関する等比数列として解くのが最短のアプローチである。