名古屋大学 2018年 理系 第2問 解説

方針・初手

関数 $y = a^x$ と $y = \log_a x$ は互いに逆関数であり、グラフは直線 $y = x$ に関して対称である。

(1) では $a > 1$ であるときの $y = a^x$ の単調増加性を利用して、共有点が存在すれば直線 $y = x$ 上にしかないことを背理法などの論法を用いて示す。

(2) では、(1) の結果から $a^x = x$ の実数解の個数に帰着させ、関数 $f(x) = a^x - x$ の増減を微分を用いて調べる。

(3) では、(2) で調べた関数の最小値が $0$ になるときが、共有点が1個（接するとき）であるという条件を用いて $a$ の値と共有点の座標を求める。

解法1

(1)

$y = a^x$ と $y = \log_a x$ のグラフの共有点が存在すると仮定し、その座標を $(p, q)$ とおく。

共有点は両方のグラフ上にあるので、

$$ q = a^p $$

$$ q = \log_a p $$

が成り立つ。

第2式を指数を用いた形に変形すると、

$$ p = a^q $$

となる。

第1式からこの式を辺々引くと、

$$ q - p = a^p - a^q $$

が得られる。

ここで、$a > 1$ より、関数 $y = a^x$ は単調増加関数である。

(i) $p < q$ のとき

単調増加性より $a^p < a^q$ であるから $a^p - a^q < 0$ となる。 しかし、左辺は $q - p > 0$ であり、両辺の符号が一致せず矛盾する。

(ii) $p > q$ のとき

単調増加性より $a^p > a^q$ であるから $a^p - a^q > 0$ となる。 しかし、左辺は $q - p < 0$ であり、両辺の符号が一致せず矛盾する。

以上より、$p = q$ でなければならない。

すなわち、共有点の座標は $(p, p)$ と表せるので、存在すれば直線 $y = x$ 上にあることが示された。

(2)

(1) の結果から、関数 $y = a^x$ と $y = \log_a x$ のグラフの共有点は、関数 $y = a^x$ のグラフと直線 $y = x$ の共有点に一致する。 したがって、方程式 $a^x = x$ すなわち $a^x - x = 0$ の実数解の個数を調べればよい。

$f(x) = a^x - x$ とおき、$x$ について微分すると、

$$ f'(x) = a^x \log a - 1 $$

となる。

$f'(x) = 0$ とすると、

$$ a^x \log a = 1 $$

$a > 1$ より $\log a > 0$ であるから、両辺を割ることができて、

$$ a^x = \frac{1}{\log a} $$

$$ x = \log_a \left( \frac{1}{\log a} \right) $$

この実数解を $\alpha$ とおく。

$x < \alpha$ のとき、$a^x < a^\alpha$ より $f'(x) < 0$ である。 $x > \alpha$ のとき、$a^x > a^\alpha$ より $f'(x) > 0$ である。

したがって、関数 $f(x)$ は $x = \alpha$ で極小かつ最小となる。

関数 $f(x)$ は極値を1つだけもち、$x \leqq \alpha$ で単調減少、$x \geqq \alpha$ で単調増加するため、$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点は最大でも2個である。

よって、共有点は2個以下であることが示された。

(3)

共有点が1個となるのは、関数 $f(x)$ の最小値が $0$ になるときである。 すなわち、$f(\alpha) = 0$ が成り立つときであるから、

$$ a^\alpha - \alpha = 0 $$

$$ \alpha = a^\alpha $$

ここで、$\alpha$ の定義から $a^\alpha = \frac{1}{\log a}$ であるので、これを代入すると、

$$ \alpha = \frac{1}{\log a} $$

となる。

再び $\alpha$ の定義 $\alpha = \log_a \left( \frac{1}{\log a} \right)$ を用いると、

$$ \frac{1}{\log a} = \log_a \left( \frac{1}{\log a} \right) $$

底の変換公式を用いて右辺の対数を自然対数で表すと、

$$ \frac{1}{\log a} = \frac{\log \left( \frac{1}{\log a} \right)}{\log a} $$

両辺に $\log a \ (> 0)$ を掛けると、

$$ 1 = \log \left( \frac{1}{\log a} \right) $$

$$ 1 = -\log(\log a) $$

$$ \log(\log a) = -1 $$

対数の定義より、

$$ \log a = e^{-1} = \frac{1}{e} $$

さらに $a$ について解くと、

$$ a = e^{\frac{1}{e}} $$

となる。

$e > 1$ より $\frac{1}{e} > 0$ であるから、$a = e^{\frac{1}{e}} > e^0 = 1$ を満たしている。

このとき、共有点の $x$ 座標 $\alpha$ は、

$$ \alpha = \frac{1}{\log a} = \frac{1}{\frac{1}{e}} = e $$

となる。

共有点は直線 $y = x$ 上にあるので、$y$ 座標も $e$ である。 よって、共有点の座標は $(e, e)$ となる。

解説

逆関数と元の関数の交点に関する代表的な問題である。一般に、単調増加な関数とその逆関数の交点は、直線 $y = x$ 上にのみ存在することが知られている。本問の (1) はその事実の証明を求めている。

(1) の結論を背景知識として使うことで、(2) では逆関数同士の連立方程式を解く代わりに、$y = a^x$ と $y = x$ の交点を考えればよくなる。これにより、微積分を用いた1変数関数の増減の議論に帰着できる。

(3) においては「交点が1個 $\iff$ $y = a^x$ と $y = x$ が接する」という視点を持つと、最小値が $0$ となる条件を立式しやすい。対数関数の計算において底が $a$ と $e$ で混在するため、自然対数に統一して丁寧に処理することがポイントである。

答え

(1) 共有点は，存在すれば直線 $y=x$ 上にある。

(2) 共有点は2個以下である。

(3) 共有点の座標: $(e, e)$ , $a = e^{\frac{1}{e}}$