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北海道大学 1974年文系第1問解説

方針・初手

指数関数の和と差で定義された関数 $f(x), g(x)$ についての式の値や方程式を解く問題である。 (1) は定義式をそのまま代入して計算する。 (2) は $f(x)f(y)$ と $g(x)g(y)$ を定義に従って展開し、$g(x+y)$ と $g(x-y)$ の形で表すことを目指す。 (3) は (2) で得られた $g(x-y)$ の値から $x$ と $y$ の関係式を導き、$g(x+y)$ の値を利用して連立方程式を解く。

解法1

(1)

$f(x) = a^x - a^{-x}$, $g(x) = a^x + a^{-x}$ を与式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 &= (a^x - a^{-x})^2 - (a^x + a^{-x})^2 \\ &= (a^{2x} - 2a^x a^{-x} + a^{-2x}) - (a^{2x} + 2a^x a^{-x} + a^{-2x}) \\ &= (a^{2x} - 2 + a^{-2x}) - (a^{2x} + 2 + a^{-2x}) \\ &= -4 \end{aligned} $$

(2)

$f(x)f(y)$ と $g(x)g(y)$ をそれぞれ展開する。

$$ \begin{aligned} f(x)f(y) &= (a^x - a^{-x})(a^y - a^{-y}) \\ &= a^{x+y} - a^{x-y} - a^{-x+y} + a^{-(x+y)} \\ &= (a^{x+y} + a^{-(x+y)}) - (a^{x-y} + a^{-(x-y)}) \\ &= g(x+y) - g(x-y) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} g(x)g(y) &= (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y}) \\ &= a^{x+y} + a^{x-y} + a^{-x+y} + a^{-(x+y)} \\ &= (a^{x+y} + a^{-(x+y)}) + (a^{x-y} + a^{-(x-y)}) \\ &= g(x+y) + g(x-y) \end{aligned} $$

条件より $f(x)f(y) = 4, g(x)g(y) = 8$ であるから、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} g(x+y) - g(x-y) = 4 & \cdots \text{①} \\ g(x+y) + g(x-y) = 8 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

①と②の辺々を加えると、

$$ 2g(x+y) = 12 $$

よって、$g(x+y) = 6$ である。

②から①を辺々引くと、

$$ 2g(x-y) = 4 $$

よって、$g(x-y) = 2$ である。

(3)

(2) の結果より、$g(x-y) = 2$ であるから、

$$ a^{x-y} + a^{-(x-y)} = 2 $$

両辺に $a^{x-y}$ を掛けて整理すると、

$$ (a^{x-y})^2 - 2a^{x-y} + 1 = 0 $$

$$ (a^{x-y} - 1)^2 = 0 $$

これより $a^{x-y} = 1$ を得る。$a > 0, a \neq 1$ であるから、

$$ x - y = 0 $$

すなわち、$y = x$ である。

また、(2) の結果より $g(x+y) = 6$ であり、$y = x$ を代入すると、

$$ g(2x) = 6 $$

$$ a^{2x} + a^{-2x} = 6 $$

両辺に $a^{2x}$ を掛けて整理すると、

$$ (a^{2x})^2 - 6a^{2x} + 1 = 0 $$

二次方程式の解の公式より、

$$ a^{2x} = 3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 1} = 3 \pm 2\sqrt{2} $$

$a > 0$ より $a^{2x} > 0$ であるが、$3 \pm 2\sqrt{2} > 0$ であるため、どちらも適する。

したがって、

$$ 2x = \log_a (3 \pm 2\sqrt{2}) $$

対数の性質を用いて変形する。二重根号を外すと、$\sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \pm 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{1}{2} \log_a (3 \pm 2\sqrt{2}) \\ &= \log_a \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} \\ &= \log_a (\sqrt{2} \pm 1) \end{aligned} $$

$y = x$ であるから、$y$ の値も同じである。

解法2

(1) の別解

因数分解公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 &= \{f(x) + g(x)\}\{f(x) - g(x)\} \\ &= (2a^x)(-2a^{-x}) \\ &= -4a^0 \\ &= -4 \end{aligned} $$

(3) の別解

$g(x-y)=2$ から $x=y$ を導くところまでは解法1と同じである。

条件 $f(x)f(y) = 4$ に $y = x$ を代入すると、

$$ \{f(x)\}^2 = 4 $$

したがって、$f(x) = \pm 2$ である。定義より、

$$ a^x - a^{-x} = \pm 2 $$

両辺に $a^x$ を掛けて整理すると、

$$ (a^x)^2 \mp 2a^x - 1 = 0 $$

$a^x > 0$ に注意して二次方程式の解の公式を用いると、

$$ a^x = \frac{\pm 2 + \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = \pm 1 + \sqrt{2} $$

すなわち、$a^x = \sqrt{2} + 1$ または $a^x = \sqrt{2} - 1$ であり、どちらも正の値であるため適する。

対数の定義より、

$$ x = \log_a (\sqrt{2} \pm 1) $$

$y = x$ であるから、$y$ の値も同じである。

解説

双曲線関数に類似した指数関数の和・差による関数の性質を問う典型問題である。 (1) で示した $\{g(x)\}^2 - \{f(x)\}^2 = 4$ は、定数となる重要な関係式である。 (2) は加法定理に似た性質を自力で導出させている。 (3) では、$t + \frac{1}{t} = 2$ のとき $t=1$ となる性質（相加・相乗平均の関係の等号成立条件でもある）を利用して $x=y$ を導き出すことが鍵となる。別解で示したように、$f(x)$ の方程式に帰着させる方が、計算量が少なく二重根号を外す手間も省けるため実戦的である。