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名古屋大学 2023年理系第2問解説

方針・初手

(1) 2つの円が2点で交わるための条件は、中心間の距離とそれぞれの半径の関係式から導きます。 (2) 交点の座標は、2つの円の方程式から $y$ を消去し、$x$ について解くことで得られます。 (3) 回転させる図形 $A$ の形状を正しく把握することが重要です。図形は点 $R$ と $P$ を結ぶ線分を回転させた「円錐」と、円 $C$ の弧 $PQ$ を回転させた「球欠」から構成されるため、それぞれの体積の和として計算します。 (4) (3) で求めた体積 $V(r)$ を $r$ で微分して増減を調べます。$h(r)$ が $r$ の関数であることを考慮し、積の微分や合成関数の微分をうまく用いて計算量を減らす工夫が有効です。

解法1

(1)

円 $C$ の中心は $(0, 0)$ で半径は $r$、円 $D$ の中心は $(a, 0)$ で半径は $b$ である。 2円の中心間の距離は $a$ である。これらが2点で交わる条件は、中心間の距離が半径の差より大きく、半径の和より小さいことであるから、

$$ |r - b| < a < r + b $$

$0 < b < a$ および $r > 0$ より、 $a < r + b$ から $r > a - b$ また、$a > r - b$ から $r < a + b$ $a > b - r$ については、$b - a < 0$ であり $r > 0$ なので常に成り立つ。以上より、求める半径 $r$ の条件は、

$$ a - b < r < a + b $$

(2)

円 $C, D$ の方程式はそれぞれ以下の通りである。

$$ C: x^2 + y^2 = r^2 $$

$$ D: (x - a)^2 + y^2 = b^2 $$

交点においてはこれらが同時に成り立つ。第1式から第2式を引いて $y^2$ を消去すると、

$$ x^2 - (x - a)^2 = r^2 - b^2 $$

$$ 2ax - a^2 = r^2 - b^2 $$

$$ x = \frac{r^2 - b^2 + a^2}{2a} $$

$C$ と $D$ が2点で交わるとき、$y$ 座標が正となる交点 $P$ は必ず存在し、その $x$ 座標は上記のものとなる。よって、

$$ h(r) = \frac{r^2 - b^2 + a^2}{2a} $$

(3)

点 $P$ の座標は $(h(r), y_P)$ （ただし $y_P = \sqrt{r^2 - h(r)^2} > 0$）である。また、点 $Q(r, 0)$、点 $R(a - b, 0)$ である。

ここで、各点の $x$ 座標の大小関係を確認する。 (1) の結果より $r > a - b$ である。また、

$$ h(r) - (a - b) = \frac{r^2 - b^2 + a^2 - 2a(a - b)}{2a} = \frac{r^2 - (a - b)^2}{2a} > 0 $$

$$ r - h(r) = \frac{2ar - r^2 + b^2 - a^2}{2a} = \frac{b^2 - (r - a)^2}{2a} > 0 $$

（$\because a - b < r < a + b \iff -b < r - a < b \iff (r - a)^2 < b^2$）よって、$a - b < h(r) < r$ が成り立つ。

図形 $A$ は、区間 $a - b \leqq x \leqq h(r)$ においては線分 $RP$ と $x$ 軸に囲まれた領域であり、区間 $h(r) \leqq x \leqq r$ においては円 $C$ の弧 $PQ$ と $x$ 軸に囲まれた領域である。したがって、図形 $A$ を $x$ 軸の周りに回転させてできる立体は、底面の半径が $y_P$、高さが $h(r) - (a - b)$ の円錐と、球の一部（球欠）を合わせたものである。体積 $V(r)$ は、

$$ V(r) = \frac{1}{3} \pi y_P^2 \{ h(r) - (a - b) \} + \pi \int_{h(r)}^r (\sqrt{r^2 - x^2})^2 dx $$

ここで、$y_P^2 = r^2 - h(r)^2$ であり、第2項の定積分を計算すると、

$$ \pi \int_{h(r)}^r (r^2 - x^2) dx = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{h(r)}^r = \pi \left( \frac{2}{3} r^3 - r^2 h(r) + \frac{h(r)^3}{3} \right) $$

これらを $V(r)$ の式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} V(r) &= \frac{\pi}{3} \{ (r^2 - h(r)^2)(h(r) - a + b) + 2r^3 - 3r^2 h(r) + h(r)^3 \} \\ &= \frac{\pi}{3} \{ r^2 h(r) - r^2(a - b) - h(r)^3 + h(r)^2(a - b) + 2r^3 - 3r^2 h(r) + h(r)^3 \} \\ &= \frac{\pi}{3} \{ 2r^3 - 2r^2 h(r) - (a - b)r^2 + (a - b)h(r)^2 \} \\ &= \frac{\pi}{3} [ 2r^2 \{ r - h(r) \} - (a - b) \{ r^2 - h(r)^2 \} ] \\ &= \frac{\pi}{3} \{ r - h(r) \} \{ 2r^2 - (a - b)(r + h(r)) \} \end{aligned} $$

答えには $h(r)$ を用いてよいので、これが求める体積である。

(4)

$V(r)$ を $r$ の関数として微分する。(3) の展開式より、

$$ V(r) = \frac{\pi}{3} \{ 2r^3 - (a - b)r^2 - 2r^2 h(r) + (a - b)h(r)^2 \} $$

$h(r) = \frac{r^2 - b^2 + a^2}{2a}$ より、両辺を $r$ で微分すると $h'(r) = \frac{r}{a}$ である。 $V(r)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} V'(r) &= \frac{\pi}{3} \{ 6r^2 - 2(a - b)r - 4r h(r) - 2r^2 h'(r) + 2(a - b)h(r)h'(r) \} \\ &= \frac{\pi}{3} \left\{ 6r^2 - 2(a - b)r - 4r h(r) - 2r^2 \cdot \frac{r}{a} + 2(a - b)h(r) \cdot \frac{r}{a} \right\} \\ &= \frac{\pi r}{3a} \{ 6ar - 2a(a - b) - 4a h(r) - 2r^2 + 2(a - b)h(r) \} \\ &= \frac{\pi r}{3a} \{ -2r^2 + 6ar - 2a(a - b) - 2(a + b)h(r) \} \end{aligned} $$

括弧内に $h(r)$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} & -2r^2 + 6ar - 2a(a - b) - 2(a + b) \frac{r^2 - b^2 + a^2}{2a} \\ &= \frac{1}{a} \{ -2ar^2 + 6a^2 r - 2a^2(a - b) - (a + b)(r^2 - b^2 + a^2) \} \\ &= \frac{1}{a} \{ -2ar^2 + 6a^2 r - 2a^3 + 2a^2 b - (a r^2 - a b^2 + a^3 + b r^2 - b^3 + a^2 b) \} \\ &= \frac{1}{a} \{ -(3a + b)r^2 + 6a^2 r - (3a^3 - a^2 b - a b^2 - b^3) \} \end{aligned} $$

$V'(r) = 0$ となる $r$ を求めるため、方程式 $(3a + b)r^2 - 6a^2 r + (3a^3 - a^2 b - a b^2 - b^3) = 0$ を解く。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= (3a^2)^2 - (3a + b)(3a^3 - a^2 b - a b^2 - b^3) \\ &= 9a^4 - (9a^4 - 3a^3 b - 3a^2 b^2 - 3a b^3 + 3a^3 b - a^2 b^2 - a b^3 - b^4) \\ &= 4a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4 \\ &= b^2 (2a + b)^2 \end{aligned} $$

したがって、

$$ r = \frac{3a^2 \pm \sqrt{b^2 (2a + b)^2}}{3a + b} = \frac{3a^2 \pm b(2a + b)}{3a + b} $$

これを計算すると、

$$ r_1 = \frac{3a^2 + 2ab + b^2}{3a + b}, \quad r_2 = \frac{3a^2 - 2ab - b^2}{3a + b} = a - b $$

定義域 $a - b < r < a + b$ において、$r_2 = a - b$ は下限と一致するため含まれない。一方、$r_1$ について調べると、

$$ r_1 - (a - b) = \frac{3a^2 + 2ab + b^2 - (3a + b)(a - b)}{3a + b} = \frac{2b(2a + b)}{3a + b} > 0 $$

$$ (a + b) - r_1 = \frac{(a + b)(3a + b) - (3a^2 + 2ab + b^2)}{3a + b} = \frac{2ab}{3a + b} > 0 $$

よって、$a - b < r_1 < a + b$ を満たす。 $V'(r)$ の符号は $r^2$ の係数が負である二次関数の符号と一致するため、$a - b < r < r_1$ で $V'(r) > 0$、$r_1 < r < a + b$ で $V'(r) < 0$ となる。ゆえに、$V(r)$ は $r = r_1$ で極大かつ最大となる。

この $r_1$ を $r(a)$ とおく。

$$ r(a) = \frac{3a^2 + 2ab + b^2}{3a + b} $$

極限を計算する。

$$ r(a) - a = \frac{3a^2 + 2ab + b^2 - a(3a + b)}{3a + b} = \frac{ab + b^2}{3a + b} = \frac{b + \frac{b^2}{a}}{3 + \frac{b}{a}} $$

$a \to \infty$ のとき $\frac{b^2}{a} \to 0$、$\frac{b}{a} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{a \to \infty} (r(a) - a) = \frac{b + 0}{3 + 0} = \frac{b}{3} $$

解説

2円の交差条件から回転体の体積、微積分と極限の計算までを問う、総合的な計算力が求められる問題です。体積の計算では、図形 $A$ がどのような領域であるかを立式前に正確に把握することが重要です。この図形の回転体は円錐と球欠の和として捉えられ、無闇に全区間を積分するよりも計算ミスを防げます。また、微分の計算においては、$h(r)$ を最後まで展開せず、合成関数の微分 $h'(r) = \frac{r}{a}$ を利用して式を整理してから代入する方針を取ると、計算の見通しが劇的に良くなります。