大阪大学 1972年 文系 第1問 解説

方針・初手

曲線 $y = x(x-1)^2$ と直線 $y = k$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $x(x-1)^2 = k$ の実数解である。 問題の条件は、この3次方程式が相異なる3つの実数解をもち、それらが等比数列をなすことである。3次方程式の解と係数の関係を利用し、未知数を設定して連立方程式を解くアプローチが有効である。

解法1

曲線 $y = x(x-1)^2$ と直線 $y = k$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x(x-1)^2 = k $$

すなわち

$$ x^3 - 2x^2 + x - k = 0 $$

の実数解である。 条件より、この方程式は相異なる3つの実数解をもち、それらは等比数列をなす。 その3解を順序によらず $\alpha, \beta, \gamma$ とし、$\beta$ を等比中項とすると、

$$ \alpha\gamma = \beta^2 $$

が成り立つ。 3次方程式の解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 2 \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 1 \\ \alpha\beta\gamma = k \end{cases} $$

第2式の左辺を変形すると、

$$ \beta(\alpha + \gamma) + \alpha\gamma = \beta(\alpha + \gamma) + \beta^2 = \beta(\alpha + \beta + \gamma) $$

となる。これと第1式をあわせると、

$$ \beta \cdot 2 = 1 $$

$$ \beta = \frac{1}{2} $$

これを第3式に代入すると、

$$ k = \alpha\beta\gamma = \beta(\alpha\gamma) = \beta \cdot \beta^2 = \beta^3 $$

であるから、

$$ k = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $$

が必要である。

逆に $k = \frac{1}{8}$ のとき、方程式は

$$ x^3 - 2x^2 + x - \frac{1}{8} = 0 $$

$$ 8x^3 - 16x^2 + 8x - 1 = 0 $$

$x = \frac{1}{2}$ を解にもつことに注意して左辺を因数分解すると、

$$ (2x-1)(4x^2 - 6x + 1) = 0 $$

したがって、方程式の解は

$$ x = \frac{1}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4} $$

これらは相異なる3つの実数である。 また、

$$ \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{9 - 5}{16} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$

が成り立つから、この3つの解は確かに等比数列をなす。 以上より、求める実数 $k$ の値は $k = \frac{1}{8}$ である。

解法2

関数 $f(x) = x(x-1)^2 = x^3 - 2x^2 + x$ とおく。 導関数は

$$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = (3x-1)(x-1) $$

$f'(x) = 0$ とすると $x = \frac{1}{3}, 1$ である。 $f(x)$ は $x = \frac{1}{3}$ で極大値 $f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{27}$、$x = 1$ で極小値 $f(1) = 0$ をとる。 よって、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ が相異なる3点で交わるための条件は、

$$ 0 < k < \frac{4}{27} $$

である。 このとき、3つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta, \gamma$ （$\alpha < \beta < \gamma$）とおくと、グラフの概形よりこれらはすべて正の実数である。 これらが等比数列をなすから、公比を $r$ （$r > 1$）とおくと、3解は $\alpha, \alpha r, \alpha r^2$ と表せる。 解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \alpha r + \alpha r^2 = 2 \\ \alpha(\alpha r) + (\alpha r)(\alpha r^2) + (\alpha r^2)\alpha = 1 \\ \alpha(\alpha r)(\alpha r^2) = k \end{cases} $$

すなわち

$$ \begin{cases} \alpha(1 + r + r^2) = 2 & \cdots \textbf{(1)} \\ \alpha^2 r(1 + r + r^2) = 1 & \cdots \textbf{(2)} \\ \alpha^3 r^3 = k & \cdots \textbf{(3)} \end{cases} $$

（2） を （1） で割ると、

$$ \alpha r = \frac{1}{2} $$

これを （3） に代入して、

$$ k = (\alpha r)^3 = \frac{1}{8} $$

$k = \frac{1}{8} = \frac{27}{216}$、$ \frac{4}{27} = \frac{32}{216}$ であるから、求めた $k$ は相異なる3点で交わるための条件 $0 < k < \frac{4}{27}$ を満たしている。 以上より、$k = \frac{1}{8}$ である。

解説

「3つの数が等比数列をなす」という条件の扱い方がポイントである。解法1のように3数を $\alpha, \beta, \gamma$ とおいて等比中項の性質 $\alpha\gamma = \beta^2$ を用いると、未知数を減らさずに対称性を保ったまま処理できるため、解と係数の関係と非常に相性が良くなる。解法2のように初項 $a$、公比 $r$ とおく方法も基本であり、確実に答えにたどり着ける。

また、「必要条件から求めた値が、実際に相異なる3つの実数解をもつか（十分性）」の確認を忘れないことが重要である。解法1では実際に解を求めて確認し、解法2では微分を用いて実数解の個数の条件をあらかじめ求めておくことで十分性を担保している。

答え

$$ k = \frac{1}{8} $$