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大阪大学 2000年文系第1問解説

方針・初手

与えられた条件式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ と、3点 $A, B, C$ が点 $O$ を中心とする同一円周上にあるという条件を活用する。

点 $O$ が円の中心であることから、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$ が成り立つ。これらを用いて、三角形の3辺の長さが等しいことを示すアプローチ（ベクトルを用いた長さの計算）、または図形的な意味（重心と外心の一致）からアプローチするなどの解法が考えられる。

解法1

円の半径を $R$ とおく。3点 $A, B, C$ は点 $O$ を中心とする円の円周上にあるので、次が成り立つ。

$$ |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = R $$

与えられた条件式より、

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} $$

両辺の絶対値の2乗をとると、

$$ |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = |-\overrightarrow{OC}|^2 $$

展開して整理すると、

$$ |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 $$

ここに $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = R$ を代入する。

$$ R^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + R^2 = R^2 $$

よって、内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ は次のように求まる。

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}R^2 $$

次に、三角形 $ABC$ の辺 $AB$ の長さの2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 \\ &= |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= R^2 - 2\left(-\frac{1}{2}R^2\right) + R^2 \\ &= 3R^2 \end{aligned} $$

したがって、$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3}R$ である。

同様に、対称性から $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}$ および $\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}$ に対して同じ計算を行うことにより、以下の結果を得る。

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = 3R^2 $$

$$ |\overrightarrow{CA}|^2 = 3R^2 $$

以上より、$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}|$ が示された。3辺の長さが等しいため、三角形 $ABC$ は正三角形である。

解法2

三角形 $ABC$ の重心を $G$ とすると、点 $O$ を始点とする重心の位置ベクトルは次のように表される。

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} $$

与えられた条件 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ より、

$$ \overrightarrow{OG} = \vec{0} $$

となり、重心 $G$ は外心 $O$ と一致する。

直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $M$ とすると、点 $O$ は重心であるため、点 $M$ は辺 $BC$ の中点である。すなわち、線分 $AM$ は辺 $BC$ に対する中線である。

一方、点 $O$ は $\triangle ABC$ の外心でもあるため、$\triangle OBC$ は $OB = OC$ の二等辺三角形である。頂角 $O$ から底辺 $BC$ の中点 $M$ に引いた線分 $OM$ は辺 $BC$ と垂直に交わる。

したがって、直線 $AM$ は辺 $BC$ の垂直二等分線となる。

$\triangle ABM$ と $\triangle ACM$ において、$AM \perp BC$、$BM = CM$、共通の辺 $AM$ をもつので、2つの直角三角形は合同である。よって、

$$ AB = AC $$

同様にして、直線 $BO$ は辺 $CA$ の垂直二等分線となるため、

$$ BC = BA $$

以上より、$AB = BC = CA$ となるので、三角形 $ABC$ は正三角形である。

解法3

点 $O$ を原点とする複素数平面上で考える。点 $A, B, C$ を表す複素数をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ とし、円の半径を $R$ （$R > 0$）とする。

条件より、次が成り立つ。

$$ |\alpha| = |\beta| = |\gamma| = R $$

$$ \alpha + \beta + \gamma = 0 $$

$|\alpha|^2 = \alpha \bar{\alpha} = R^2$ より $\bar{\alpha} = \frac{R^2}{\alpha}$ である。$\beta, \gamma$ についても同様である。

$\alpha + \beta + \gamma = 0$ の両辺の共役複素をとると、

$$ \bar{\alpha} + \bar{\beta} + \bar{\gamma} = 0 $$

これに上記の式を代入する。

$$ \frac{R^2}{\alpha} + \frac{R^2}{\beta} + \frac{R^2}{\gamma} = 0 $$

両辺を $R^2$ で割り、通分すると、

$$ \frac{\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = 0 $$

したがって、

$$ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0 $$

ここで、$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式の解と係数の関係を考える。$\alpha\beta\gamma = k$ とおくと、$\alpha, \beta, \gamma$ は方程式 $t^3 - (\alpha + \beta + \gamma)t^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)t - \alpha\beta\gamma = 0$ の3つの解である。

これまでに得られた $\alpha + \beta + \gamma = 0$ と $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$ を代入すると、この方程式は次のように簡略化される。

$$ t^3 = k $$

この方程式の3つの解 $\alpha, \beta, \gamma$ は、複素数平面上で原点を中心とする円に内接する正三角形の頂点をなす。よって、三角形 $ABC$ は正三角形である。