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大阪大学 2000年文系第3問解説

方針・初手

定積分の式を扱いやすくするため、$F(x) = \int_0^x f(t)dt$ とおき、$g(x)$ を $F(x)$ を用いて表す。$g(x)$ の式に含まれる $\int_x^2 f(t)dt$ は、$\int_0^2 f(t)dt - \int_0^x f(t)dt$ と変形できることに着目する。

また、被積分関数 $f(t)$ は絶対値を含むため、$t$ の値の範囲によって場合分けをして $F(x)$ の関数形と値域を求める。その後、$F(x) = u$ とおいて、$u$ の関数としての $g(x)$ の最大値を考える。

解法1

$F(x) = \int_0^x f(t)dt$ とおく。

与えられた関数 $g(x)$ は、定積分の性質より

と表せる。

次に、被積分関数 $f(x) = x - 2 + 3|x - 1|$ の絶対値をはずす。

(i)

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $x - 1 \leqq 0$ より $|x - 1| = -(x - 1)$ であるから

$$ f(x) = x - 2 - 3(x - 1) = -2x + 1 $$

となる。したがって、$0 \leqq x \leqq 1$ における $F(x)$ は

$$ F(x) = \int_0^x (-2t + 1)dt = \left[ -t^2 + t \right]_0^x = -x^2 + x $$

(ii)

$1 < x \leqq 2$ のとき $x - 1 > 0$ より $|x - 1| = x - 1$ であるから

$$ f(x) = x - 2 + 3(x - 1) = 4x - 5 $$

となる。したがって、$1 < x \leqq 2$ における $F(x)$ は

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_0^1 f(t)dt + \int_1^x f(t)dt \\ &= F(1) + \int_1^x (4t - 5)dt \\ &= (-1^2 + 1) + \left[ 2t^2 - 5t \right]_1^x \\ &= 0 + (2x^2 - 5x) - (2 - 5) \\ &= 2x^2 - 5x + 3 \end{aligned} $$

この結果から、$F(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 3 = 1$ である。よって

$$ g(x) = |F(x)| + |1 - F(x)| $$

となる。ここで、$0 \leqq x \leqq 2$ における $F(x)$ の値域を調べる。

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき、$F(x) = - \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}$ より、値域は

$$ 0 \leqq F(x) \leqq \frac{1}{4} $$

$1 < x \leqq 2$ のとき、$F(x) = 2 \left( x - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{1}{8}$ より、$x = \frac{5}{4}$ で最小値 $-\frac{1}{8}$、$x = 2$ で最大値 $1$ をとる。したがって、値域は

$$ -\frac{1}{8} \leqq F(x) \leqq 1 $$

これらを合わせると、$0 \leqq x \leqq 2$ における $F(x)$ のとり得る値の範囲は

$$ -\frac{1}{8} \leqq F(x) \leqq 1 $$

である。

$u = F(x)$ とおき、$h(u) = |u| + |1 - u|$ の $-\frac{1}{8} \leqq u \leqq 1$ における最大値を考える。

$-\frac{1}{8} \leqq u < 0$ のとき、$|u| = -u$、$|1 - u| = 1 - u$ より

$$ h(u) = -u + 1 - u = -2u + 1 $$

この区間で $h(u)$ は単調減少であるから、$u = -\frac{1}{8}$ のとき最大値 $h \left( -\frac{1}{8} \right) = -2 \left( -\frac{1}{8} \right) + 1 = \frac{5}{4}$ をとる。

$0 \leqq u \leqq 1$ のとき、$|u| = u$、$|1 - u| = 1 - u$ より

$$ h(u) = u + 1 - u = 1 $$

この区間で $h(u)$ は定数 $1$ をとる。

以上より、$h(u)$ の最大値は $\frac{5}{4}$ である。これは $x = \frac{5}{4}$ のときに実現される。

解説

定積分の区間分割を利用して $\int_x^2 f(t)dt$ を定数と $F(x)$ を用いて表すこと、そして $F(x)$ 自身を1つの変数と見立てて $g(x)$ の最大値を求めることの2点が重要なポイントである。そのまま $x$ の関数として絶対値を外そうとすると場合分けが非常に複雑になるため、「かたまりを文字で置く」という定石が有効に機能する。