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大阪大学 2005年文系第1問解説

方針・初手

指数不等式の基本的な処理を行う。底が $1$ より大きいことに注意して真数の不等式に帰着させる。(2)では、複数の不等式を満たす $y$ が存在するための $x$ の条件をまず絞り込むことで、$x$ の候補を有限個の整数に限定する。その後、各 $x$ について $y$ の個数を数え上げる。

解法1

(1)

与えられた不等式は

$$ 10^{2x} \leqq 10^{6-x} $$

である。底の $10$ は $1$ より大きいので、指数の大小関係はそのまま保たれる。したがって、

$$ 2x \leqq 6-x $$

$$ 3x \leqq 6 $$

$$ x \leqq 2 $$

となる。

(2)

与えられた条件は、

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^{5x} \quad \cdots \text{①} $$

$$ y \leqq 10^{6-x} \quad \cdots \text{②} $$

である。これを満たす整数 $(x, y)$ の組を求める。

①より、$10^2 \leqq 10^{5x}$ が成り立つ必要がある。底 $10 > 1$ より、

$$ 2 \leqq 5x $$

$$ x \geqq \frac{2}{5} $$

したがって、$x$ は整数なので $x \geqq 1$ である。

また、①と②より $10^2 \leqq y \leqq 10^{6-x}$ となるため、$10^2 \leqq 10^{6-x}$ が成り立つ必要がある。底 $10 > 1$ より、

$$ 2 \leqq 6-x $$

$$ x \leqq 4 $$

$x$ は整数であるから、$1 \leqq x \leqq 4$ より $x$ の候補は $x = 1, 2, 3, 4$ のいずれかである。それぞれの場合について、条件を満たす整数 $y$ の個数を求める。不等式①と②をまとめると、$y$ の満たすべき条件は

$$ 10^2 \leqq y \leqq \min(10^{5x}, 10^{6-x}) $$

である。

(i)

$x = 1$ のとき

①、②より $y$ の範囲は

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^5 \quad \text{かつ} \quad y \leqq 10^5 $$

すなわち

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^5 $$

これを満たす整数 $y$ の個数は

$$ 10^5 - 10^2 + 1 = 100000 - 100 + 1 = 99901 $$

より、$99901$ 個である。

(ii)

$x = 2$ のとき

①、②より $y$ の範囲は

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^{10} \quad \text{かつ} \quad y \leqq 10^4 $$

すなわち

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^4 $$

これを満たす整数 $y$ の個数は

$$ 10^4 - 10^2 + 1 = 10000 - 100 + 1 = 9901 $$

より、$9901$ 個である。

(iii)

$x = 3$ のとき

①、②より $y$ の範囲は

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^{15} \quad \text{かつ} \quad y \leqq 10^3 $$

すなわち

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^3 $$

これを満たす整数 $y$ の個数は

$$ 10^3 - 10^2 + 1 = 1000 - 100 + 1 = 901 $$

より、$901$ 個である。

(iv)

$x = 4$ のとき

①、②より $y$ の範囲は

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^{20} \quad \text{かつ} \quad y \leqq 10^2 $$

すなわち

$$ 10^2 \leqq y \leqq 10^2 $$

これを満たす整数 $y$ は $y = 100$ の $1$ 個である。

以上より、求める整数の組 $(x, y)$ の総数は

$$ 99901 + 9901 + 901 + 1 = 110704 $$

となる。

解説

指数関数の底が $1$ より大きいか小さいかによって不等号の向きが変わることに注意する問題であるが、本問は底が $10$ と明らかなのでそのまま処理できる。

(2)における連立不等式は、「条件を満たす $y$ が少なくとも1つ存在する」ための $x$ の必要条件を求めることで、$x$ の候補を絞り込むのが定石である。不等式 $A \leqq y \leqq B$ において解が存在するには $A \leqq B$ が必要であることを利用して $x$ の範囲を特定できれば、あとは少数の整数 $x$ についてしらみつぶしに調べるだけでよい。