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九州大学 1979年文系第2問解説

方針・初手

与えられた無理数 $p$ の値から、無理数をなくすように2乗して2次方程式を作成し、$p$ と $q$ の関係式を見つけることが第一歩となる。 $q=1-p$ という条件と合わせて関係式を導くと、$q = p^2$ というシンプルな形になる。これにより、すべての式を底が $p$ の対数や指数に統一して計算を進めることができる。

解法1

(1)

$p = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ を変形すると、

$$2p + 1 = \sqrt{5}$$

両辺を2乗して整理する。

$$(2p + 1)^2 = 5$$

$$4p^2 + 4p + 1 = 5$$

$$4p^2 + 4p - 4 = 0$$

$$p^2 + p - 1 = 0$$

これより、$1 - p = p^2$ である。条件より $q = 1 - p$ であるから、

$$q = p^2$$

が成り立つ。ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ より $0 < p < 1$ であるから、真数条件を満たし $\log p \neq 0$ である。（また $q = p^2$ より $0 < q < 1$ となり $\log q \neq 0$ も満たす）したがって、与式の値を計算すると、

$$\frac{\log p}{\log q} = \frac{\log p}{\log p^2} = \frac{\log p}{2 \log p} = \frac{1}{2}$$

(2)

条件の不等式 $q^k \leqq p^m q^n$ に、(1) で求めた $q = p^2$ を代入する。

$$(p^2)^k \leqq p^m (p^2)^n$$

$$p^{2k} \leqq p^{m+2n}$$

ここで、$0 < p < 1$ であるから、底が $1$ より小さい場合の指数の大小関係より、不等号の向きが逆転する。

$$2k \geqq m + 2n$$

$k, m, n$ は自然数であるため、$m$ と $n$ の条件について整理する。不等式を $m$ について解くと、

$$m \leqq 2k - 2n$$

$m$ は自然数（$m \geqq 1$）であるから、$2k - 2n \geqq 1$ を満たす必要がある。これを整理すると、

$$2n \leqq 2k - 1$$

$n$ も自然数であるから、$n$ の取りうる値の範囲は $1 \leqq n \leqq k - 1$ となる。（$k=1$ のとき、この範囲を満たす自然数 $n$ は存在しないため、条件を満たす組 $(m, n)$ の個数は $0$ 個である。）

$1 \leqq n \leqq k - 1$ を満たす各 $n$ を固定したとき、条件 $1 \leqq m \leqq 2k - 2n$ を満たす自然数 $m$ は $(2k - 2n)$ 個存在する。したがって、$k \geqq 2$ のとき、求める組 $(m, n)$ の個数は、

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{k-1} (2k - 2n) &= 2k \sum_{n=1}^{k-1} 1 - 2 \sum_{n=1}^{k-1} n \\ &= 2k(k-1) - 2 \cdot \frac{1}{2}(k-1)k \\ &= 2k(k-1) - k(k-1) \\ &= k(k-1) \end{aligned}$$

この結果は、$k=1$ のとき $1 \times 0 = 0$ となり成り立つ。以上より、求める個数は $k(k-1)$ 個である。

解説

黄金比に関連する値 $p = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ を題材とした問題である。直接代入して計算しようとすると式が非常に複雑になるため、(1) の段階で $p$ が満たす2次方程式 $p^2+p-1=0$ を作り、$q=p^2$ という簡潔な関係を見抜くことが重要である。 (2) では、(1) で得た関係式を用いてすべての項を底 $p$ の累乗で表すことで、見慣れた1次不等式 $m+2n \leqq 2k$ の格子点を数える問題に帰着できる。その際、$0 < p < 1$ であるため、指数を比較するときに不等号の向きが逆になる点に注意が必要である。