大阪大学 2005年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は与えられた漸化式がそのまま等差数列の形になっていることに着目する。(2) は $b_{n+1} - b_n$ が与えられているため、階差数列を用いて一般項を求める。(1) で求めた $a_n$ を代入し、部分分数分解を利用して和を計算する。

解法1

(1)

与えられた漸化式

$$ \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 1 $$

より、数列 $\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$ は、初項が $\frac{1}{a_1} = 3$、公差が $1$ の等差数列である。

よって、一般項は

$$ \frac{1}{a_n} = 3 + (n - 1) \cdot 1 = n + 2 $$

したがって、

$$ a_n = \frac{1}{n+2} $$

(2)

与えられた条件

$$ b_{n+1} - b_n = a_{n+1} a_{n+2} $$

は、数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $a_{n+1} a_{n+2}$ であることを示している。

(1) の結果を用いると、

$$ a_{n+1} a_{n+2} = \frac{1}{n+3} \cdot \frac{1}{n+4} = \frac{1}{(n+3)(n+4)} $$

これを部分分数分解すると、

$$ a_{n+1} a_{n+2} = \frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4} $$

となる。

$n \geqq 2$ のとき、階差数列の公式より

$$ b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1} a_{k+2} $$

ここで、$b_1 = a_1 a_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ であるから、

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{12} + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4} \right) \\ &= \frac{1}{12} + \left\{ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{n+3} \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \\ &= \frac{n+3-3}{3(n+3)} \\ &= \frac{n}{3(n+3)} \end{aligned} $$

この式において $n=1$ とすると、

$$ b_1 = \frac{1}{3(1+3)} = \frac{1}{12} $$

となり、これは初期条件 $b_1 = \frac{1}{12}$ と一致する。 したがって、$n=1$ のときも成り立つ。

よって、一般項は

$$ b_n = \frac{n}{3(n+3)} $$

解説

逆数に注目して等差数列に帰着させる漸化式と、階差数列の和を部分分数分解を用いて求める典型的な数列の問題である。(2) では、階差数列から一般項を導出する際に $n \geqq 2$ の条件を明記し、最後に $n=1$ の場合の成立確認を忘れないようにすることが重要である。

答え

(1)

$$ a_n = \frac{1}{n+2} $$

(2)

$$ b_n = \frac{n}{3(n+3)} $$