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大阪大学 2006年文系第2問解説

方針・初手

与えられた等式 $\log_2 6 = m + \frac{1}{n+a}$ において、$n$ は自然数、$0 < a < 1$ であることから、$\frac{1}{n+a}$ のとり得る値の範囲を評価する。これにより、等式の右辺は「整数＋真分数」の形になっていることがわかり、$m$ を $\log_2 6$ の整数部分として決定できる。同様にして、$m$ を引いた残りの部分の逆数をとることで $n$ を決定する。 (2) は(1)で求めた $a$ の値（対数で表される）と有理数 $\frac{2}{3}$ を比較する。底をそろえ、真数どうしの大小比較へと帰着させる。

解法1

(1)

与えられた等式は以下の通りである。

$$ \log_2 6 = m + \frac{1}{n+a} $$

$n$ は自然数、$0 < a < 1$ であるから、$n < n+a < n+1$ が成り立つ。各辺正であるから逆数をとると、以下のようになる。

$$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n+a} < \frac{1}{n} \leqq 1 $$

すなわち、$0 < \frac{1}{n+a} < 1$ である。したがって、$m$ は $\log_2 6$ の整数部分を表す。

ここで、$2^2 < 6 < 2^3$ であるから、底を $2$ とする対数をとると $2 < \log_2 6 < 3$ となる。これより、$\log_2 6$ の整数部分は $2$ であり、$m = 2$ と定まる。

このとき、元の等式に $m=2$ を代入すると以下のようになる。

$$ \log_2 6 = 2 + \frac{1}{n+a} $$

$$ \frac{1}{n+a} = \log_2 6 - 2 = \log_2 6 - \log_2 4 = \log_2 \frac{6}{4} = \log_2 \frac{3}{2} $$

逆数をとると、次の式が得られる。

$$ n+a = \frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}} = \log_{\frac{3}{2}} 2 $$

先ほどと同様に、$0 < a < 1$ より $n$ は $\log_{\frac{3}{2}} 2$ の整数部分である。 $n$ を求めるために、$\log_{\frac{3}{2}} 2$ の値を評価する。

$$ \left( \frac{3}{2} \right)^1 = 1.5 < 2 $$

$$ \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 2.25 > 2 $$

底 $\frac{3}{2}$ は $1$ より大きいから、真数の大小関係より以下が成り立つ。

$$ 1 < \log_{\frac{3}{2}} 2 < 2 $$

したがって、$\log_{\frac{3}{2}} 2$ の整数部分は $1$ であり、$n = 1$ と定まる。

(2)

(1) の結果より、$n=1$ であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ 1+a = \log_{\frac{3}{2}} 2 $$

これを $a$ について解くと次のようになる。

$$ a = \log_{\frac{3}{2}} 2 - 1 = \log_{\frac{3}{2}} 2 - \log_{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{3}{2}} \left( 2 \div \frac{3}{2} \right) = \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} $$

ここで、$a > \frac{2}{3}$ を示すには、$\log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} > \frac{2}{3}$ を示せばよい。底 $\frac{3}{2}$ は $1$ より大きいので、以下の真数の大小関係を示せば十分である。

$$ \frac{4}{3} > \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{2}{3}} $$

両辺はともに正であるため、両辺を $3$ 乗したものの大小を比較する。

$$ \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} $$

$$ \left\{ \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{2}{3}} \right\}^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} $$

この2つの値を通分して比較する。

$$ \frac{64}{27} = \frac{64 \times 4}{27 \times 4} = \frac{256}{108} $$

$$ \frac{9}{4} = \frac{9 \times 27}{4 \times 27} = \frac{243}{108} $$

$256 > 243$ であるから、$\frac{64}{27} > \frac{9}{4}$ が成り立つ。したがって、$\left( \frac{4}{3} \right)^3 > \left( \frac{3}{2} \right)^2$ が示された。

以上より、$\frac{4}{3} > \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{2}{3}}$ となり、底 $\frac{3}{2} > 1$ より、以下の不等式が成り立つ。

$$ \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} > \frac{2}{3} $$

すなわち、$a > \frac{2}{3}$ であることが示された。

解説

実数をその整数部分と小数部分に分けるという、連分数展開の基本的な考え方を背景に持つ問題である。 (1) では、まず $m$ を決定し、残りの小数部分から逆数をとって再び整数部分 $n$ を取り出す。条件 $0 < a < 1$ が「$a$ が小数部分である」ことを保証しているため、迷わず整数部分を取り出していけばよい。 (2) は対数の値を評価する問題である。対数を用いた不等式の証明を真数どうしの不等式に帰着させ、さらに分数乗の比較を整数乗の比較へと変形して評価するという、定石通りの処理を行うことで無理なく示すことができる。