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大阪大学 2007年文系第1問解説

方針・初手

(1)は、放物線と直線の交点の $x$ 座標を求める方程式を立て、その2次方程式が指定された範囲内に異なる2つの実数解をもつ条件を求める。グラフの軸の位置、判別式、端点での値の符号に着目する。

(2)は、2曲線間の面積を求める問題である。交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、上下関係に注意して積分式を立てる。そのまま積分を計算すると複雑になるため、$\int_{-2}^2 f(x) dx$ と $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx$ の組み合わせに変形して計算の手間を減らす工夫をする。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2$ と直線 $l: y = x + k$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = x + k $$

すなわち

$$ x^2 - x - k = 0 $$

の解である。$C$ と $l$ が $-2 < x < 2$ の範囲で2点で交わる条件は、2次方程式 $x^2 - x - k = 0$ が $-2 < x < 2$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。

$f(x) = x^2 - x - k$ とおく。 $y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸の方程式は $x = \frac{1}{2}$ である。求める条件は、次の3つをすべて満たすことである。

・判別式 $D > 0$ ・区間の端点での値が正：$f(-2) > 0$ かつ $f(2) > 0$ （軸 $x = \frac{1}{2}$ は $-2 < x < 2$ を満たしているため、条件に含めなくてよい）

判別式 $D$ について

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 1 + 4k > 0 $$

よって $k > -\frac{1}{4}$

$f(-2) > 0$ について

$$ f(-2) = (-2)^2 - (-2) - k = 6 - k > 0 $$

よって $k < 6$

$f(2) > 0$ について

$$ f(2) = 2^2 - 2 - k = 2 - k > 0 $$

よって $k < 2$

これらを同時に満たす $k$ の範囲を求めて

$$ -\frac{1}{4} < k < 2 $$

(2)

(1) の条件を満たすとき、方程式 $x^2 - x - k = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおく。解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = 1, \quad \alpha\beta = -k $$

また、

$$ \beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{1^2 - 4(-k)} = \sqrt{1 + 4k} $$

となる。

$x$ の変域 $-2 \leqq x \leqq 2$ は、$\alpha, \beta$ によって $-2 \leqq x \leqq \alpha$、$\alpha \leqq x \leqq \beta$、$\beta \leqq x \leqq 2$ の3つの部分に分けられる。 $-2 \leqq x \leqq \alpha$ および $\beta \leqq x \leqq 2$ では $x^2 \geqq x + k$ であり、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ では $x^2 \leqq x + k$ である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{-2}^{\alpha} (x^2 - x - k) dx + \int_{\alpha}^{\beta} \{-(x^2 - x - k)\} dx + \int_{\beta}^{2} (x^2 - x - k) dx $$

ここで、積分区間に関する等式

$$ \int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx = \int_{-2}^{\alpha} (x^2 - x - k) dx + \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx + \int_{\beta}^{2} (x^2 - x - k) dx $$

を用いると、

$$ \int_{-2}^{\alpha} (x^2 - x - k) dx + \int_{\beta}^{2} (x^2 - x - k) dx = \int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx - \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx $$

となるため、面積 $S$ は次のように変形できる。

$$ S = \int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx - 2\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx $$

それぞれの定積分を計算する。前半の積分は、偶関数・奇関数の性質を利用して

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx &= 2 \int_{0}^{2} (x^2 - k) dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_0^2 \\ &= 2 \left( \frac{8}{3} - 2k \right) \\ &= \frac{16}{3} - 4k \end{aligned} $$

後半の積分は、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いて

$$ \begin{aligned} -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx &= -2 \left\{ -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{3} (\sqrt{1 + 4k})^3 \\ &= \frac{1}{3}(1 + 4k)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

これらを足し合わせて

$$ S = \frac{1}{3}(1 + 4k)^{\frac{3}{2}} - 4k + \frac{16}{3} $$

解説

(1) は「2次方程式の解の配置問題」と呼ばれる典型的なテーマである。方程式の実数解を関数のグラフと $x$ 軸の交点として捉え、グラフが満たすべき条件（判別式、軸の位置、端点での符号）を整理することが定石である。

(2) は積分計算の工夫が問われる問題である。絶対値を含む積分 $\int |f(x)| dx$ を素直に区間分けして $\alpha$ や $\beta$ を代入していくと、計算量が非常に多くなり、計算ミスのリスクが高まる。本解法のように、$\int_{-2}^2 f(x) dx$ から不要な部分を引く形に変形することで、具体的な値を代入する定積分と、いわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」が使える定積分に分けることができ、劇的に計算を簡略化できる。面積問題で交点が具体的な数値にならない場合の必須テクニックである。